xor и непрерывность

[Daniil_Sh]

Рассмотрим пример: пусть $\varphi:\{0,1\}^{\infty}\rightarrow [0,1]$, $\varphi(x_1,x_2,...)=\sum\limits_{i_1}^{\infty}x_i\cdot 2^{-i}$, бесконечной двоичной последовательности $(x_1,x_2,...)$ сопоставляется двоичное число $0,x_1x_2...$. На множестве $[0,1]$ можно определить побитовый $\oplus$, то есть определено $\varphi(x)\oplus\varphi(y)$, которое непрерывно для всех $\varphi(x)$ и $\varphi(y)$, кроме двоично-рациональных. Более подробное обсуждение https://math.stackexchange.com/questions/1080223/what-do-bitwise-operators-look-like-in-3d.
Вопрос: существует ли отображение $\varphi:\{0,1\}^{\infty}\rightarrow\mathbb{R}$, для которого $\varphi(x)\oplus\varphi(y)$ непрерывно для всех $\varphi(x)$ и $\varphi(y)$?

[svv]

У Вас $\varphi$ отображает бесконечную двоичную последовательность в вещественное число из $[0,1]$. Мне кажется, нужна также функция $\pi$ (обратная $\varphi$ ?), которая превращает вещественное число в двоичную последовательность.

Операция $\oplus$ изначально определена именно для двоичных последовательностей. Если $a,b,c$ — двоичные последовательности, то $c=a\oplus b$, если $c_i=a_i\oplus b_i, \forall i\in\mathbb N$.

Теперь пусть $x,y\in[0,1]$. Определим $x\oplus y=\varphi(\pi(x)\oplus \pi(y))$.

Вот так бы я понял (ещё не саму задачу, а только определения). Осталось только определить $\pi(x)$.

-- Вт май 18, 2021 20:51:50 --

И что такое непрерывность — это понятно для функции $\mathbb R\times \mathbb R\to \mathbb R$, но не для функции от двух последовательностей или со значениями из множества последовательностей.

[Daniil_Sh]

Непрерывность для $\oplus:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. По заданным последовательностям находим соответствующие им числа, и их складываем.
Да, двум разным последовательностям (конечной и бесконечной) может соответствовать одно число.

-- 18.05.2021, 22:06 --

Я так понимаю, что как раз для двоично-рациональных чисел есть два варианта записи последовательности.

[svv]

Ну, первый вопрос. Если у Вас заданы именно последовательности, зачем их превращать в вещественные числа перед тем, как применить $\oplus$ ? Ведь последовательности — готовые биты, а что такое $\oplus$ для вещественных чисел, ещё определять нужно.

Не лучше ли, наоборот, взять два вещественных числа, превратить их в последовательности, взять $\oplus$ (совершенно понятный именно для последовательностей) и превратить полученную последовательность обратно в число?
Такая функция уже будет выдавать вещественное число от двух вещественных аргументов, и мы её можем исследовать на непрерывность.

[mihaild]

Daniil_Sh в сообщении #1519141 писал(а):

Да, двум разным последовательностям (конечной и бесконечной) может соответствовать одно число.

Тогда как определяется $0.1 \oplus 0.(01)$? Если $0.1$ писать как $0.1(0)$ то получится $0.1(10)$, а если как $0.0(1)$ - то $0.0(01)$ - совершенно разные числа.
Плюс если всё уже задано, то что спрашивается?
Верно ли, что на самом деле вас интересует такая задача: существует ли инъекция $\pi: \mathbb R \to \{0, 1\}^\infty$, такая что $\pi^{-1}(\pi(x) \oplus \pi(y))$ определено (т.е. $\pi(\mathbb R) \oplus \pi(\mathbb R) \subseteq \pi(\mathbb R)$) и непрерывно?

[Daniil_Sh]

Есть поток действий с & и $\oplus$ для таких последовательностей. Для компактной записи используются дроби, а сами вычисления хочется аппроксимировать (у меня рациональные числа, и нужно просмотреть $lcm$ длин периодов битов, чтобы выполнить операцию, что долго). Если есть непрерывность, то можно аппроксимировать & и $\oplus$ для дробей полиномами.

[Someone]

Daniil_Sh в сообщении #1519133 писал(а):

Вопрос: существует ли отображение $\varphi:\{0,1\}^{\infty}\rightarrow\mathbb{R}$, для которого $\varphi(x)\oplus\varphi(y)$ непрерывно для всех $\varphi(x)$ и $\varphi(y)$?

$\varphi(x_1,x_2,...)=\sum\limits_{i_1}^{\infty}2x_i\cdot 3^{-i}$. (Образ — стандартное канторово совершенное множество на отрезке $[0,1]$.)