Найти индуцированный заряд

[fred1996]

Между двумя параллельными бесконечными проводящими плоскостями, находящимися на расстоянии $a$ Поместили точечный заряд $q$ на расстоянии $b$ от одной из плоскостей.
Найти заряд, индуцированный на каждой .

[fred1996]

Пояснение для продвинутых математиков. В этой задаче не надо интегрировать знакопеременные ряды. Не надо считать распределение поверхностных зарядов. Это тупиковый путь. Надо использовать определённую симметрию и принцип суперпозиции.

[Ignatovich]

Задача из известного задачника И.Е.Иродова (раздел "Проводники и диэлектрики в электрическом поле") .
К этой задаче автор приводит не только ответ, но и Указание:
"Если заряд q мысленно "размазать" по плоскости, проходящей через этот заряд и параллельной проводящим плоскостям, то заряды на плоскостях не изменятся. Изменится только их распределение, и электрическое поле станет простым для расчета."
Вы такое решение имеете в виду?

[AnatolyBa]

Мне кажется, имеется в виду решение о котором мы вскользь говорили в теме «Заряд вблизи плоского конденсатора».
Идея с размазыванием красивая, однако.
Есть еще вариант - посмотреть на ситуацию из удаленной (асимптотически на бесконечность) пары точек на плоскостях.

[fred1996]

Ignatovich
Ну да. Именно это я и имел ввиду.

[fred1996]

AnatolyBa
ваш подход тоже даёт красивое и просто решение.
Причём неважно какую асимптоту вычислять, поперёк или вдоль
просто приравниваем нулю первый и второй к-ты в разложения потенциала.

[Ignatovich]

По мотивам обсуждаемой задачи можно сформулировать и такую:

Конденсатор емкостью С тонкими проводами подключен к источнику c ЭДС $\varepsilon$ .
Определите заряд конденсатора, если в точку его поля с потенциалом $\varphi$ помещают точечный заряд q. Обкладки конденсатора не обязательно плоские, имеют одинаковую форму и размеры.

Ответ получил, хотелось бы проверить.

[fred1996]

А что, суперпозиция тут не работает?
Типа определяем заряд конденсатора без точечного заряда.
Вычисляем точку с заданным потенциалом. Помещаем туда точечный заряд, размазываем как в первой задаче. Voilà.

[Ignatovich]

fred1996 в сообщении #1519007 писал(а):

Помещаем туда точечный заряд, размазываем как в первой задаче.

Не получится, если конденсатор не является плоским.

[fred1996]

Думаете можно делать конформное преобразование? Например в сферический конденсатор, для которого методом изображений результат получается просто.

[Ignatovich]

fred1996
Воспользовался симметрией потенциальных коэффициентов.

[fred1996]

А, до этого я только что допер.
Так все-таки можно заряд размазывать по эквипотенциальной поверхности $\varphi$.
Чёт не могу сообразить
Ну то есть заменить эту поверхность проводником и поместить на неё заряд $q$

[Ignatovich]

fred1996
Обсуждая вашу исходную задачу AnatolyBa, отметил три возможных решения: 1) основанное на симметрии потенциальных коэффициентов (метод кратко обсуждался недавно в другой теме), 2) основанное на "размазывании" точечного заряда (на мой взгляд, не очевидное допущение), 3) предполагающее модельную локализации индуцированного заряда.
В развитие первого способа я и предложил задачу о конденсаторе произвольной формы. В конце рабочего дня, если потребуется, напишу решение.

[Ignatovich]

Ignatovich в сообщении #1518972 писал(а):

Конденсатор емкостью С тонкими проводами подключен к источнику c ЭДС $\varepsilon$ .
Определите заряд конденсатора, если в точку его поля с потенциалом $\varphi$ помещают точечный заряд q. Обкладки конденсатора не обязательно плоские, имеют одинаковую форму и размеры.

Решал так. Точечный заряд заменим маленьким проводящим шариком заряда q. Обозначим Q - заряд положительной обкладки. Тогда ее потенциал:
$\varphi_1=QV_{11}+qV_{13}-QV_{12}$,
где индексы потенциальных коэффициентов относятся к положительной обкладке (1), отрицательной (2) и к точечному заряду (3).
Потенциал отрицательной обкладки:
$\varphi_2=QV_{21}+qV_{23}-QV_{22}$.
Учтем источник:
$\varphi_1=\varphi_2+\varepsilon$.
До внесения точечного заряда (заряд проводящего шарика равен нулю) потенциал положительной обкладки $\varepsilon/2$, ее заряд $Q_0=C\varepsilon$ и
$\varepsilon/2=Q_0(V_{11}-V_{12})$.
Потенциал незаряженного шарика (точки, в которую будет помещен точечный заряд)
$\varphi=Q_0(V_{31}-V_{32})$
Учтем симметрию потенциальных коэффициентов $V_{ij}=V_{ji}$, поскольку обкладки одинаковые, то $V_{11}=V_{22}$
Получаем ответ:
$Q=C\varepsilon-q\frac{\varphi}{\varepsilon}$

[fred1996]

Ignatovich
Ага, я упустил из виду, что обкладки одинаковой формы. Думал произвольной.