Ряд лорана ln(1/(z-1))

[artempalkin]

Нужно разложить в ряд Лорана

$f(z)=\ln\frac 1 {z-1}$ в окрестности $\infty$

Если сделать так:

$f(z)=\ln\frac 1 {z-1}=\ln\frac 1z-\ln\left(1-\frac 1z\right)$

Со вторым слагаемым проблем нет, тут будет ряд Тейлора. Но я несколько не понимаю, как раскладывать $\ln\frac 1z$ в районе $\infty$, что по сути означает разложение $\ln z$ в районе $0$.

Вроде бы, если рассматривать $\ln z$ как какую-то одну ветвь логарифма, функция будет аналитична в кольце с центром в нуле (бесконечном кольце), значит должна раскладываться в ряд, но я что-то не пойму, как это сделать.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1519045 писал(а):

Нужно разложить в ряд Лорана

В каком кольце?

artempalkin в сообщении #1519045 писал(а):

Вроде бы, если рассматривать $\ln z$ как какую-то одну ветвь логарифма, функция будет аналитична в кольце с центром в нуле

У логарифма нельзя выделить однозначную ветвь в области, содержащей замкнутый путь вокруг нуля.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1519047 писал(а):

В каком кольце?

в окрестности $\infty$, я там добавил

mihaild в сообщении #1519047 писал(а):

У логарифма нельзя выделить однозначную ветвь в области, содержащей замкнутый путь вокруг нуля.

Ну да, то есть 0 будет точкой ветвления... это означает, что в ряд Лорана нельзя разложить?

Но это означает, что и исходную функцию в ряд Лорана не разложишь (ведь второе слагаемое раскладывается, а первое нет), правильно я понимаю?

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1519053 писал(а):

это означает, что в ряд Лорана нельзя разложить?

Просто по самому определению ряда Лорана нельзя.

artempalkin в сообщении #1519053 писал(а):

Но это означает, что и исходную функцию в ряд Лорана не разложишь

Разумеется.