Классификация точек регулярной поверхности

[misha.physics]

Здравствуйте.

1) Пусть $\mathbf{r}(u,v)$ - регулярная поверхность. Зафиксируем в точке $(u_0,v_0)$ на поверхности направление $(du:0)$. Положим $du=\rho\cos\varphi$, $dv=\rho\sin\varphi$, $\rho=\sqrt{du^2+dv^2}$. Я правильно понимаю, что мы можем так сделать, вообще говоря, только в некоторой окрестности точки $(u_0,v_0)$, тем самым вводя "локальные" параметры $u$, $v$, отличные от "глобальных" параметров $u$, $v$, входящих в $\mathbf{r}(u,v)$? Ведь если мы положим $\varphi=\pi/2$, то получим направление $(0:dv)$, но это значит, что в точке $(u_0,v_0)$ векторы $\mathbf{r}_u$, $\mathbf{r}_v$ взаимно ортогональны (координатные линии пересекаются под прямым углом). Но параметризация регулярной поверхности $\mathbf{r}(u,v)$ этого, вообще говоря, не предполагает. То есть параметры $u$, $v$ параметризующие поверхность и параметры $u$, $v$ в выражениях с косинусом и синусом суть разные, да?

2) Пусть $II_0=L_0du^2+2M_0dudv+N_0dv^2=(L_0\cos^2\varphi+2M_0\cos\varphi\sin\varphi+N_0\sin^2\varphi)\rho^2$ - вторая квадратичная форма в точке $(u_0,v_0)$. Я не знаю, как показать неравенство

$$|L_0\cos^2\varphi+2M_0\cos\varphi\sin\varphi+N_0\sin^2\varphi|\geqslant\frac{1}{2}|L_0+N_0|-\sqrt{\frac{1}{4}(L_0+N_0)^2-(L_0N_0-M_0^2)}.$$

Я лишь упростил подкоренное выражение к $\displaystyle\frac{1}{4}(L_0-N_0)^2+M_0^2$, но не увидел в этом смысла. Можете подтолкнуть какими-то наводящими соображения или подсказать, где можно посмотреть? (Я смотрел в книге по диф. геом. Мищенко, а также несколько учебников по лин. алгебре в теме о квадратичных формах. Также смотрел о критерии Сильвестра, но похожего не нашёл.)

3) В книге по диф. геом. Позняка и Шикина есть иллюстрация поверхностей с точкой уплощения:

(РИСУНОК)

Мне не понятна левая поверхность. Что с ней не так? Ну кроме того, что чуточку похожа на унитаз. В точке уплощения $X_0$ имеем $L_0=M_0=N_0=0$ (вторая квадратичная форма равна нулю), то есть, точки поверхности в окрестности $X_0$ отклоняются от касательной плоскости в $X_0$ на расстояния порядка $o(\rho^2)$. Но смотря на левую картинку мне не понятно ни положение касательной плоскости в $X_0$, ни почему это точка уплощения.

[svv]

1)

misha.physics в сообщении #1518345 писал(а):

Положим $du=\rho\cos\varphi$, $dv=\rho\sin\varphi$, $\rho=\sqrt{du^2+dv^2}$. Я правильно понимаю, что мы можем так сделать, вообще говоря, только в некоторой окрестности точки $(u_0,v_0)$, тем самым вводя "локальные" параметры $u$, $v$, отличные от "глобальных" параметров $u$, $v$, входящих в $\mathbf{r}(u,v)$?

Не можем даже в точке $u_0, v_0$. Точнее, можем, но дорогой ценой:
$\bullet$ либо $\rho$ не будет иметь никакого отношения к длине пути (так как "масштаб" у координат $u$ и $v$ может быть разный), а $\varphi$ не будет иметь никакого отношения к углу (производная $\frac{d(\text{истинный угол поворота})}{d\varphi}$ будет зависеть от $\varphi$);
$\bullet$ либо новые $u$ и $v$ не будут иметь никакого отношения к исходным.

Но теория разработана так, чтобы локальный декартов базис и не нужно было вводить. Всё, что Вы хотите вычислить, можно найти с помощью $u, v, \mathbf r_u, \mathbf r_v$ и так далее.

[svv]

2)
Прежде всего, обратите внимание, что это неравенство нужно доказать лишь для случая $1^+$ (знакоопределённой формы), а не в общем случае.

Путь, простой с идейной точки зрения, но трудный с вычислительной: найти минимум функции
$f(\varphi)=|L\cos^2\varphi+2M\cos\varphi\sin\varphi+N\sin^2\varphi|$,
приравнивая производную нулю, а затем подставив найденную точку минимума. Не рекомендуется!

Приведём квадратичную форму с матрицей
$A=\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}$
к главным осям поворотом системы координат. В новых координатах получится диагональная матрица
$\tilde A=\begin{bmatrix}\tilde L&0\\0&\tilde N\end{bmatrix}$
Поворот — ортогональное преобразование, он сохраняет определитель и след:
$\begin{array}{l}\tilde L\tilde N=LN-M^2\\\tilde L+\tilde N=L+N\end{array}$
При этом $\tilde L$ и $\tilde N$ не равны нулю и одного знака (иначе не будет знакоопределённости).

В новых координатах легко находится минимум функции
$f(\varphi)=\tilde f(\tilde\varphi)=|\tilde L\cos^2\tilde\varphi+\tilde N\sin^2\tilde\varphi|$
Он равен
$\min(|\tilde L|,|\tilde N|)=\frac 1 2|\tilde L+\tilde N|-\frac 1 2|\tilde L-\tilde N|$
Далее второе слагаемое выразите через след и определитель.

[vpb]

Очень полезный общий факт: если $f$ --- квадратичная форма от $n$ переменных, $A$ --- ее матрица, $\lambda_1\leq\ldots\leq\lambda_n$ --- собственные значения $A$, то для любого вектора $v\in{\mathbb R}^n$ такого, что $|v|=1$, имеет место неравенство $\lambda_1\leq f(v)\leq\lambda_n$. (Следует из "приведения квадратичной формы к главным осям ортогональным преобразованием". См., например, Кострикин т.2, гл.3, пар.3. Детали того, как следует --- упражнение.)

А оставшееся утверждение получается, если выписать корни характеристического многочлена матрицы $\begin{pmatrix} L_0 & M_0 \\ M_0 & N_0 \end{pmatrix}$. (И полезно еще заметить, что если определитель матрицы отрицательный, то справа в неравенстве отрицательное число, а слева неотрицательное (модуль), и доказывать нечего.)

(В общем, примерно то же, что коллега писал, с несколько другой кочки зрения.)

-- 13.05.2021, 03:29 --

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1518345 писал(а):

чуточку похожа на унитаз.

Скорее уж на писсуар в общественном туалете...

[Padawan]

misha.physics в сообщении #1518345 писал(а):

Мне не понятна левая поверхность. Что с ней не так? Ну кроме того, что чуточку похожа на унитаз.

Наверное, это $z=x^3+y^4$

[misha.physics]

svv в сообщении #1518360 писал(а):

Не можем даже в точке $u_0, v_0$. Точнее, можем, но дорогой ценой

Да, а я и не подумал о размерности параметров. Понимаю, можно выбрать любой из двух описанных вами вариантов, этого будет достаточно для доказательства последующего неравенства и определения эллиптической точки поверхности для знакоопределенной второй квадратичной формы. Правда, мне больше нравится второй вариант, когда $\rho$ и $\varphi$ будут иметь смысл расстояния и угла, поскольку мне интуитивно понятно, что для двумерной поверхности так можно сделать, то есть ввести такую локальную параметризацию регулярной поверхности в некоторой окрестности точки.

svv в сообщении #1518375 писал(а):

Далее второе слагаемое выразите через след и определитель.

Спасибо, все получилось! Сначала я получил, что при $|\tilde N|\geqslant|\tilde L|$ минимум функции $f(\varphi)$ равен $|\tilde L|$, а при $|\tilde N|\leqslant|\tilde L|$ минимум функции $f(\varphi)$ равен $|\tilde N|$, при этом $\tilde L\tilde N>0$. Потом проверил, что минимум данной функции можно записать так:

svv в сообщении #1518375 писал(а):

$\frac 1 2|\tilde L+\tilde N|-\frac 1 2|\tilde L-\tilde N|$

Вроде бы просто, но в то же время удивительно, как к этому можно догадаться.

vpb, спасибо.

Padawan в сообщении #1518457 писал(а):

Наверное, это $z=x^3+y^4$

Спасибо, покрутил в Математике в разных ракурсах, на рисунке в книге мне было не очевидно, что там есть перегиб.

P.S. Что-то у меня рисунок перестал отображаться в первом посте...