Умножители напряжения

[Solaris86]

Здравствуйте. Хочу разобраться в теме умножителей напряжения.
Для этого решил начать с двух простейших случаев: схема А и схема Б.

На схемах:
$u_\text{ин}(t)$ - напряжение источника напряжения (ИН), $u_\text{ин}(t) = \cos100\pi t$ В, $R_\text{ин} = 0$ Ом
$u_\text{с}(t)$ - напряжение конденсатора, $C = \frac{1}{100\pi}$ Ф, $R_\text{с} = 0$ Ом, $X_\text{с} = \frac{1}{100\pi C} = 1$ Oм
$u_\text{д}(t)$ - напряжение диода, ВАХ диода имеет следующий вид:

Для упрощения примем, что обратный ток диода $I_\text{обр. д} = 0$.
Красными и фиолетовыми плюсами и минусами обозначены полярности элементов цепи в зависимости от полярности источника напряжения (красный цвет для положительного полупериода источника напряжения, фиолетовый цвет для отрицательного полупериода источника напряжения).
Режим цепи установившийся.
Согласно закону напряжений Кирхгофа при обходе контура по часовой стрелке имеем:
Для положительного полупериода ИН для обеих схем: $-u_\text{ин}(t) + u_\text{c}(t) + u_\text{д}(t) = 0 \Rightarrow u_\text{ин}(t) = u_\text{c}(t)+ u_\text{д}(t)$
Для отрицательного полупериода ИН для обеих схем: $u_\text{ин}(t) - u_\text{c}(t) - u_\text{д}(t) = 0 \Rightarrow u_\text{ин}(t) = u_\text{c}(t)+ u_\text{д}(t)$
Что я хочу найти:
1) значения тока в цепи и напряжения на всех элементах цепи для трёх моментов времени: $t_1 = 0$ с, $t_2 = 0.005$ с, $t_3 = 0.01$ с.
Для ИН это очевидно:
$u_\text{ин}(t_1) = \cos100\pi t_1 = \cos100\pi \cdot 0 = \cos0 = 1$ В (амплитудное значение)
$u_\text{ин}(t_2) = \cos100\pi t_2 = \cos100\pi \cdot 0.005 = \cos0.5\pi = 0$ В
$u_\text{ин}(t_3) = \cos100\pi t_3 = \cos100\pi \cdot 0.01 = \cos\pi = -1$ В (амплитудное значение)
Вот как посчитать напряжения для диода и конденсатора, я не понимаю. Я могу лишь предположить, что в данном случае напряжение на конденсаторе не будет изменяться по закону косинуса, как это бывает при расчёте установившегося режима при синусоидальных воздействиях в линейных цепях, потому что из-за наличия элемента с нелинейной ВАХ - полупроводникового диода вся цепь становится нелинейной.
2) максимальные и минимальные значения напряжений для конденсатора и диода;
3) зависимости (хотя бы графически) $u_\text{с}(t)$, $u_\text{д}(t), u_\text{c}(i)$.
В литературе по ТОЭ я не встречал расчёт умножителей напряжения.
В видео на ютубе и популярных статьях на пальцах объясняют принцип работы умножителей напряжения, но мне непонятны эти краткие объяснения, а хотелось бы подробного объяснения со строгими расчётами и формулами.

[Dmitriy40]

Начнём с того что обе схемы полностью эквиваленты.
Далее, неправильно указана полярность напряжений на конденсаторе, она не будет меняться вслед за источником.
Ну и $R_c$ конечно же равно не нулю, а бесконечности.
И при этом условии (плюс нулевой обратный ток диода) в установившимся режиме напряжение на конденсаторе будет постоянным, на диоде будет меняться вслед за источником (пределы изменения выясните сами). Объяснение простое: ток в цепи может течь лишь в одну сторону, заряжая конденсатор, а пути его разряда нет. А значит конденсатор будет заряжаться до амплитудного значения источника (за вычетом падения на диоде при нулевом прямом токе) и потом лишь сохранять это напряжение. А раз активных сопротивлений в цепи нет, то конденсатор зарядится в первый же период. И далее его можно мысленно заменить на батарейку или другой источник постоянного напряжения.
Ну и умножителя напряжения тут пока не видно.

[Solaris86]

Dmitriy40 в сообщении #1518320 писал(а):

И при этом условии (плюс нулевой обратный ток диода) в установившимся режиме напряжение на конденсаторе будет постоянным,

Dmitriy40 в сообщении #1518320 писал(а):

А раз активных сопротивлений в цепи нет, то конденсатор зарядится в первый же период. И далее его можно мысленно заменить на батарейку или другой источник постоянного напряжения.

Тогда получается так (при допущении, что $I_\text{обр. д} = 0$):
$u_\text{ин}(t) = \cos100\pi t$ - синий график
$u_\text{c}(t) = 1$ - зелёный график
$u_\text{д}(t) = -\cos(100\pi t)-1$ - красный график

Однако почему-то если рассматривать данную схему как однополупериодный выпрямитель, то согласно имеющимся в доступе графикам зависимости $u_\text{c}(t) \not= \operatorname{const}$, например https://go-radio.ru/vipramiteli.html
Я запутался.

[Dmitriy40]

Графики в общем правильные.
Есть некоторая нестыковка в какой именно момент напряжение на диоде подходит к нулю — я бы ожидал что это будет когда синий и зелёный график сливаются и ток в цепи уже не течёт — но возможно это лишь выбор полярности напряжений в схеме. А вот что напряжение на диоде может быть удвоенным — факт более важный.

По ссылке графики неправильные, они построены без учёта наличия конденсатора. Т.е. или его ёмкость ничтожно мала, или ток нагрузки очень велик — чтобы конденсатор практически не мог её питать от себя. Правильный график с конденсатором например тут (не учебник, что первое нашлось): https://microtechnics.ru/odnopoluperiod ... ip-raboty/

Кстати я был не прав, если снимать выходное напряжение с диода, то получится именно что умножитель напряжения — выпрямитель Вилларда. Именно потому что на диоде удвоенное переменное напряжение.

[Solaris86]

Dmitriy40 в сообщении #1518342 писал(а):

Есть некоторая нестыковка в какой именно момент напряжение на диоде подходит к нулю — я бы ожидал что это будет когда синий и зелёный график сливаются и ток в цепи уже не течёт — но возможно это лишь выбор полярности напряжений в схеме

Я чертил графики из соображения выполнения закона напряжений Кирхгофа. По идее, если сместить красный график, то сумма падений напряжений в цепи уже не будет равна нулю...
С этой схемой я разобрался.
Теперь буду добавлять поочерёдно по одному контуру и рисовать направление тока в разные полупериоды.

Нумерация конденсаторов слева направо по порядку: C1, C2, C3, C4.
Тут уже мне сходу не сообразить, какие конденсаторы в какие полупериоды будут заряжаться, какие разряжаться и какие будут без изменений и, главное, почему.

[Dmitriy40]

Без нагрузки или потерь все конденсаторы когда-то зарядятся до амплитудных значений и дальше их состояние меняться уже не будет, в том числе и токов не будет. Точнее напряжения экспоненциально приближаются к амплитудным.

Грубо говоря, в первом полупериоде заряжается C1 через первый диод.
Во втором полупериоде C2 заряжается (причём в обратной полярности чем C1) через второй диод от последовательно включенных C1 и источника. C1 при этом должен разряжаться (или можно сказать что C1 и C2 включены последовательно и перезаряжаются каждый до половины напряжения источника с перетеканием заряда из C1 в C2), отчего и появляется экспоненциальный процесс.
В третьем полупериоде заряжается C3 от C2 и включенных встречно C1 и источника, а C1 подзаряжается от источника через первый диод. C2 при этом должен разряжаться, что снова даёт экспоненту.
В четвёртом полупериоде C2 подзаряжается от C1 и источника, как во втором. Если нет 4-го каскада.
Ну и всё повторяется до полного заряда всех конденсаторов и выхода в стационарное состояние (в теории никогда недостижимое).
Надо не забывать что хотя напряжение на конденсаторах и колеблется, но никогда не меняет полярность.

[sergey zhukov]

Solaris86
Принцип умножения напряжения такой: нужно сначала по очереди зарядить несколько конденсаторов от источника низкого напряжения, а затем включить все конденсаторы последовательно. Например, на постоянном токе так работает генератор Маркса.

На переменном токе это можно сделать при помощи диодов. Чтобы было проще понять, как работает диодный умножитель, можно смоделировать его в программе, которая показывает прямо на электрической схеме, как течет ток и где какое напряжение. Такая программа есть, например, здесь http://www.falstad.com/mathphysics.html. Там еще много чего интересного есть.

[Solaris86]

Dmitriy40 в сообщении #1518367 писал(а):

Без нагрузки или потерь все конденсаторы когда-то зарядятся до амплитудных значений и дальше их состояние меняться уже не будет, в том числе и токов не будет. Точнее напряжения экспоненциально приближаются к амплитудным.

То есть на этом сайте неверная информация, что Umax(C) - 2U?
http://radiohome.ru/news/umnozhiteli_na ... -08-07-258

sergey zhukov в сообщении #1518372 писал(а):

Такая программа есть, например, здесь http://www.falstad.com/mathphysics.html
.

Речь про http://www.falstad.com/circuit/?

[Dmitriy40]

Solaris86 в сообщении #1518384 писал(а):

То есть на этом сайте неверная информация, что Umax(C) - 2U? http://radiohome.ru/news/umnozhiteli_na ... -08-07-258

Нет, почему же, всё там правильно. Это я плохо выразился, амплитудное значение для каждого конденсатора будет своё.
Но без нагрузки или потерь энергия в системе может лишь накапливаться, сливаться ей некуда, потому и напряжения будут постепенно расти, колеблясь (кроме последнего конденсатора) со всё меньшей амплитудой.

-- 13.05.2021, 09:31 --

Впрочем, и в вашей схеме, и в Кокрофта-Уолтона, напряжение на C1 будет не удвоенным, а одинарным. На остальных да, а на этом нет. В этом там небольшая неточность.

[sergey zhukov]

Solaris86
Да, эта программа. На ней хорошо подобные простые штуки изучать.

[nds]

Solaris86 в сообщении #1518356 писал(а):

Теперь буду добавлять поочерёдно по одному контуру и рисовать направление тока в разные полупериоды.

Так не получится.
Первый и второй диоды по такой схеме закорачивают все остальные. И заряжаться будут только первые 2 ёмкости.

[Dmitriy40]

Получится. Не закорачивают. Заряжаться будут все.

[Solaris86]

Всем спасибо!

[Emergency]

Solaris86 в сообщении #1518384 писал(а):

То есть на этом сайте неверная информация, что Umax(C) - 2U?

Это зависит от того, что они обозначили через U.
Общепринятое обозначение можно посмотреть в Википедии