Дифур первого порядка

[artempalkin]

По идее должен браться элементарными методами, но что-то ни один не подходит.

$y'=\frac {2y}{x^2-y}$

Содержательных попыток было много, проверял все методы из Филиппова. Ну, например, можно поменять местами х и у.

$2xy'=y^2-x$

Это уравнение - какое-то неполное уравнение Рикатти, в котором, может быть, нужно угадать решение, но решение что-то не угадывается.

Подскажите, не увидите ли что-то?

[iifat]

artempalkin в сообщении #1518099 писал(а):

какое-то неполное уравнение Рикатти

Не сильно помогу, но почему неполное-то? Вполне себе общее уравнение Риккати (если верить яндексу, фамилия пишется именно так).

[artempalkin]

iifat в сообщении #1518110 писал(а):

Не сильно помогу, но почему неполное-то? Вполне себе общее уравнение Риккати (если верить яндексу, фамилия пишется именно так).

Да, а если сделать замену какую-нибудь, то получится и очевидно "полное".

В общем, видимо, опечатка какая-то в условии, решения не получается элементарными методами.

[iifat]

artempalkin в сообщении #1518111 писал(а):

получится и очевидно "полное"

Да просто делим на $2x$ и получаем $y''=\frac1{2x}y^2-\frac12$. Согласно википедии, решается через функции Бесселя, то бишь, угадайство несколько сомнительно.

[svv]

Пусть $y\geqslant 0$. Подставьте $y=t^2$. Перепишите уравнение в виде $\frac{dx}{dt}=...\,,$ считая $t$ независимой переменной.
Cделайте замену $x=-\frac{t}{z}\frac{dz}{dt}$. Получится уравнение второго порядка относительно $z(t)$, зато линейное. Его решением будет произвольная линейная комбинация $I_0(t)$ и $K_0(t)$ (с постоянными коэффициентами).

[GAA]

svv, а как догадаться выполнить замену $y=t^2$?

Если по шагам, то вроде всё просто.
1. Считая, что $x$ является функцией $y$, исходное уравнение можно записать в виде

$x’=\frac {x^2} {2y} - \frac 1 2.$

2. При помощи замены $x= -2yz$ это уравнение преобразуется к «стандартному» виду уравнения Риккати

$z’ = -z^2 - \frac z y +\frac 1 {4y}.$

3. При помощи замены $z = u’/u$ сводится к линейному однородному уравнению второго порядка

$y^2u’’ + yu’-\frac y 4 u = 0.$

4. Это уже почти модифицированное уравнение Бесселя, если бы перед $u$ стоял бы множитель не $y/4$, а $y^2$. Пусть $y > 0$. После замены $y = t^2$ получаем уравнение

$t^2 u’’+tu’ -t^2u = 0.$

Решение этого уравнения $u = C_1I_0(t)+ C_2K_0(t)$.

Возвращаясь к переменной $y$, получим

$u = C_1I_0(\sqrt y)+ C_2K_0(\sqrt y).$

Следовательно,

$$z = \frac { C_1I_1 (\sqrt y) - C_2K_1(\sqrt y) } { C_1I_0(\sqrt y)+ C_2K_0(\sqrt y)} \frac 1 {2\sqrt y }.$

Возвращаясь к $x= -2yz$, получим

$$x = \frac { -C_1I_1 (\sqrt y) + C_2K_1(\sqrt y) } { C_1I_0(\sqrt y)+ C_2K_0(\sqrt y)} \sqrt y .$$

Если $C_1 \ne 0$, то сокращая на $C_1$ и вводя обозначение $C = C_2/C_1$, получим

$$x = \frac { -I_1 (\sqrt y) + CK_1(\sqrt y) } { I_0(\sqrt y)+ CK_0(\sqrt y)} \sqrt y .$$

При $C_1 = 0$ получим

$$x = \frac {K_1(\sqrt y) } {K_0(\sqrt y)} \sqrt y .$$

________________________________________
Т.е. проделав по шагам, потом можно попробовать делать быстрее. А если предварительно не получить линейное однородное уравнение, то как додуматься сделать замену независимого аргумента $y=t^2$?

Upd. Может быть это и в Википедии написано, но что-то не нашел страницы с подробным описанием.
Upd2. На странице Википедии Riccati equation нашёл общее описание сведения к линейному однородному уравнению второго порядка, которое практически соответствует моему ходу решения выше. (Детали не сверял, только общий ход.)

[svv]

GAA
Могу только примерно объяснить, чем руководствовался. Во-первых, при этой замене уходила двойка. Во-вторых, выравнивались степени в знаменателе (я в тот момент думал, что смогу получить однородное уравнение). Но «оригинальности следует предпочитать стандарт».

[GAA]

Спасибо. (Я подумал есть какой-то широко известный и удобный критерий проверки того, что можно такой-то подстановкой свести уравнение Риккати к линейному однородному уравнению второго порядка определённого вида.)

[artempalkin]

iifat
GAA
svv

Всем спасибо! Надеюсь, вас задача по крайней мере развлекла, потому что, конечно, в оригинале не предполагалось такого сложного решения (обычный курс дифуров без всяких спецфункций и уравнений Бесселя), поэтому тут речь, конечно, может идти только об опечатке! :)

[GAA]

А это и было когда-то в стандартных курсах ОДУ: (1) простейшие случаи интегрирования линейных однородных уравнений с переменными коэффициентами и (2) сведение уравнения Риккати к линейному однородному уравнению второго порядка. Потом этот материал был заменён на более содержательный (поскольку в простых случаях программы быстро находят решение). Но в старых книжках можно найти. Например,
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, 1967. (djvu):
(1) п. 186 Приведение к уравнению, не содержащему член с первой производной (там приводится случай уравнения Бесселя $x^2y’’ + xy’+(x^2-1/4)y=0$, его общее решение записывается в элементарных функциях);
(2) п. 189 Связь между однородным линейным уравнением второго порядка и уравнением Риккати.

В примере данной ветки только одно затруднение: нужно уметь производные вычислять от модифицированных функций Бесселя.