Разрезание квадрата на 2 равные части

[Ergo]

Привет всем!

Недавно встретил такое утверждение: если квадрат разрезать на 2 равные по площади и по форме части, то линия разреза будет центрально-симметрична относительно центра квадрата, в частности, проходить через него. Мне это кажется правильным, но доказать "на пальцах" я это не могу. Может, у кого-нибудь есть идеи?

Заранее спасибо!

[arseniiv]

Попробуйте при явном предположении, что части — многоугольники с простой границей (не самопересекающейся). (А потом — что части — объединения конечного числа таких многоугольников с конечным числом многоугольных дырок.) Это даст уже достаточно общий результат и наверно не так сложно доказать, как случай совсем уж произвольных частей.

[Ergo]

Спасибо, arseniiv, но не получается даже в таком упрощенном варианте :(

[arseniiv]

А если требовать ещё и выпуклость частей?

-- Вт май 11, 2021 00:23:35 --

Наконец можно попробовать отдельно доказывать для треугольников, отдельно для четырёхугольников и т. д.. Ну для треугольников уж точно просто: мы вынуждены отдать каждому треугольнику целиком по две стороны квадрата, потому что иначе какому-то из них достанется как минимум три, а всего он станет иметь не меньше четырёх. Получается, у нас совсем не будет выбора как расположить треугольные части — лишь два прямоугольных, имеющих общую гипотенузу, содержащую центр квадрата. С четырёхугольниками хитрее, но опять же перебор вроде не очень большой. Хотя как-то это всё не выглядит как приводящее к более общему доказательству.

-- Вт май 11, 2021 00:31:17 --

По крайней мере должно существовать какое-то движение плоскости, которое одну половину переведёт в другую, что значит, что эта половина движением переводится в множество, пересекающееся с ней лишь по ломаной и притом в объединении дающее квадрат. Можно попробовать рассмотреть все типы движений…

-- Вт май 11, 2021 00:32:58 --

(Или не ломаную, а простую кривую. Но я боюсь общности в данном случае, ещё патологические случаи вылезут и ничего не получится доказать.)

-- Вт май 11, 2021 00:46:55 --

Мне тут напомнили, что если движение совмещает одну часть с другой, то оно совмещает квадрат с собой. А таких движений всего ничего, группа симметрий квадрата. Их можно перебрать и отбросить такие, которые не подходят по тем или иным причинам.

[xagiwo]

arseniiv
Нет, ведь это движение не обязано ещё и вторую часть совмещать с первой. Если взять квадрат, разделённый на два равных прямоугольника, параллельный перенос совместит первую часть со второй, но квадрат с собой не совместит.

[arseniiv]

Это да. Но должно найтись хоть одно, которое совмещает квадрат с собой, хотя мне не очевидно прям щас почему должно.

[xagiwo]

Ну, это уже почти порочный круг.

[arseniiv]

Не обязательно. Если мы сможем доказать, что хоть одно движение части в другую часть переводит квадрат в себя, то нам останется просто перебрать движения квадрата, которые такое могут осуществлять. Что интересно, они кажется все могут. Но для линии пересечения частей это не страшно.

[xagiwo]

У меня, кажется, есть большая часть решения. Стоит выкладывать?

-- 11.05.2021, 00:37 --

(просто arseniiv, кажется, отреагировал на тему как на прр)

[arseniiv]

Да, я потом только заметил раздел, когда открывал второй-третий раз. Но так как я ничего конкретного не предложил почти, то ничего страшного не случилось!

-- Вт май 11, 2021 01:42:00 --

Выложите внутри спойлера off, так решающие смогут открыть по желанию.

[xagiwo]

(Оффтоп)

Случай, когда движение одной части в другую есть симметрия квадрата + параллельный перенос параллельно стороне квадрата (то есть квадрат при движении накладывается на себя прямоугольником с одной из сторон равной стороне квадрата) читателю предлагается разобрать самостоятельно

Аналогично можно поступить со случаем, когда это движение есть симметрия квадрата + поворот относительно одной из вершин квадрата

Если одна из частей содержит ровно две диаметрально противоположные вершины квадрата, а вторая две другие, то наше движение должно одну диагональ квадрата переводить в другую, ибо диаметр квадрата есть диаметр обоих его частей.

В противном же случае одна из частей содержит какие-то две соседние вершины квадрата. Движение, которое эту часть переводит в другую, переведёт эти две вершины куда-то внутрь квадрата. При этом, во-первых: квадрат переведётся в фигуру, которая содержит вторую часть квадрата, и, во-вторых: (с учётом условий, рассмотренных в самом начале; это тоже доказать без меня самостоятельно) передвинутый квадрат будет содержать всего одну вершину изначального квадрата. Это значит, что и вторая часть будет содержать всего одну(или ноль) вершину изначального квадрата, а первая часть – все три(или четыре) его вершины. Но тогда наибольшее расстояние между точками первой части равно диаметру квадрата, а между точками второй части – меньше его. Противоречие, то есть возможны только случаи, которые предлагается разобрать самостоятельно.

(исправления, внесённые редактированием)

Добавил в последнем предложении "то есть возможны только случаи, которые предлагается разобрать самостоятельно."

Заменил "Но тогда в первой части будет хотя бы один из диаметров квадрата, а во второй – ни одного" на "Но тогда наибольшее расстояние между точками первой части равно диаметру квадрата, а между точками второй части – меньше его)

Сделал ещё что-то и уже забыл, что, удачи в перечитывании

[xagiwo]

Вот то же самое решение, но профильтрованное для чуть более приятного чтения(то, что было до этого, как мне кажется, читать не стоит). Движение у меня включает и отражение тоже.

(Оффтоп)

Докажем, что движение квадрата, которое одну его часть переводит в другую, есть либо симметрия квадрата, либо параллельный перенос параллельно стороне квадрата, либо тот же перенос + отражение, которое и квадрат, и его сдвинутую версию оставляет на месте.

Пусть одна из частей содержит две противоположные вершины квадрата. Тогда, так как наше движение должно (какой-то) диаметр одной части переводить в (какой-то) диаметр другой, один из диаметров квадрата оно должно переводить в другой(или в тот же самый). Далее будем считать, что в каждой части не более двух вершин и нет противоположных вершин.

Значит, в каждой части есть ровно две соседние вершины. Движение, которое перенесёт первую часть на вторую, перенесёт квадрат так, что 1) две вершины квадрата, которые были на первой части перенесутся куда-то внутрь(или на границу) изначального квадрата, и 2) перенесённый квадрат будет содержать и перенос первой части квадрата, то есть вторую часть изначального квадрата, а значит и те две вершины изначального квадрата, которые есть на второй части.
А это значит, что наше движение одно ребро (изначального) квадрата унесло куда-то внутрь изначального квадрата, при этом противоположное ребро изначального квадрата оказалось полностью внутри перенесённого квадрата. Легко понять, что это возможно только когда наше движение – параллельный перенос или параллельный перенос с отражением, указанные в начале.

Остаётся только рассмотреть указанные в начале движения и доказать всё для них.

-- 11.05.2021, 03:47 --

и ещё туда же

(Оффтоп)

Случай с параллельным переносом или переносом + отражением при переносе квадрата оставляет полоску, которая есть в изначальном квадрате, но не перенесённом. Значит, она есть в первой части квадрата, но не во второй. Её перенос есть во второй, но не в первой. Если её так перенести дважды – опять окажется в первой(или вне квадрата), ведь всё, что переносится на вторую часть, было в первой, а нашей полоски перед вторым переносом в первой части не было. И вот так получается, что квадрат раскрашен в полоски, половина которых в первой части, а половина – во второй. Остаются симметрии. Как и предсказывал arseniiv

-- 11.05.2021, 04:22 --

А если не требовать связности частей, утверждение неверно

[xagiwo]

и ещё чуть-чуть

(Оффтоп)

Симметрии квадрата это отражения и повороты. Если наше движение это отражение, то линия разреза это отрезок, который отражение оставляет на месте. Если это поворот на 180°, то этот поворот и есть центральная симметрия относительно центра квадрата. Если же это поворот на 90°, его композиция с собой есть поворот на 180° и он переводит обе части квадрата в себя, то есть обе части квадрата центрально симметричны относительно центра квадрата.