Отображение, задающее разбиение множества

[sirin0880]

Здравствуйте. Читаю сейчас "Введение в алгебру" Кострикина. Наткнулся на следующее упражнение:

Пусть $f:X \to Y$ - отображение и $b = f(a)$ для некоторого $a\inX$.
Прообраз $f^{-1}(b)=f^{-1}(f(a))=\left\lbrace x\mid f(x)=f(a)\right\rbrace$ иногда называют ещё слоем над элементом $b \in Imf$. Показать, что всё множествоX является объединением непересекающихся слоев.
Предупреждение. Обозначение $f^{-1}(b)$ не следует ассоциировать с обратным отображением, которого может и не быть.

Т.к. не было указано какое именно отображение рассматривается в задаче я начал перебирать все типы. Начал с инъективных:
1.) Пусть $f:X \to Y$ - инъективно, но не сюръективно. Возьмём $y_1, y_2 \in Y :f(x_1) =y_1 & f(x_2) = y_2$.В силу инъективности слои будут состоять из одного элемента и неравенство $f^{-1}(y_1) \ne f^{-1}(y_2)$ можно понимать как$f^{-1}(y_1) \cap f^{-1}(y_2) = \varnothing$. По определению инъективности при $y_1 \ne y_2\Rightarrow f^{-1}(y_1) \ne f^{-1}(y_2)$. Тогда можно сказать что $X = \bigcup\limits_{y \in Imf}f^{-1}(y)$(подразумевая здесь и далее, что это дизъюнктное объединение)
2.) Для биекции из рассуждений выше очевидно $X = \bigcup\limits_{y \in Y}f^{-1}(y)$
Если же отображение неинъективное, то начинаются проблемы. Можно, конечно, взять отображение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которое ставит $x \in \mathbb{R}$ в соответствие $x^2$ и доказать для него, но если взять отображение $g = X\times X$, где $X = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace$, то не о каком дизъюнктом объединение слоёв не идёт и речи.
Это неточность в задаче или я чего-то не понимаю?

[arseniiv]

sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):

но если взять отображение $g = X\times X$, где $X = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace$

Так это ведь уже не отображение, это не функциональное отношение.

Можно рассматривать просто произвольное отображение сразу, там не будет сложно. Инъекции и сюръекции на этом фоне выделяются, но только в ограничениях на мощность слоёв; в одном случае сверху и в другом случае снизу, и для биекций получается неудивительный результат, когда оба ограничения оставляют лишь 1.

[Someone]

sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):

Т.к. не было указано какое именно отображение рассматривается в задаче я начал перебирать все типы.

Вы явно пошли куда-то не туда. Что Вы понимаете под "всеми типами", я не понимаю. Забудьте про них полностью. Требуемое равенство доказывается "в одну строчку" совершенно одинаково для всех мыслимых и немыслимых "типов", достаточно определения отображения и понимания того, что нужно доказать.

[sirin0880]

arseniiv в сообщении #1517794 писал(а):

sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):

но если взять отображение $g = X\times X$, где $X = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace$

Так это ведь уже не отображение, это не функциональное отношение.

Можно рассматривать просто произвольное отображение сразу, там не будет сложно. Инъекции и сюръекции на этом фоне выделяются, но только в ограничениях на мощность слоёв; в одном случае сверху и в другом случае снизу, и для биекций получается неудивительный результат, когда оба ограничения оставляют лишь 1.

В некоторых учебниках, например в Матане Зорича, сначала даётся определение отображения как произвольного подмножества некоего Декартового произведения, и лишь потом уточняется, что функция - это функциональное отношение, т.е. одному x соответствует один y. Сейчас понял, что держал в голове именно это определение, хотя у Кострикина сразу говорится о том что отображение = функциональное отображение

-- 09.05.2021, 18:15 --

Someone в сообщении #1517796 писал(а):

sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):

Т.к. не было указано какое именно отображение рассматривается в задаче я начал перебирать все типы.

Вы явно пошли куда-то не туда. Что Вы понимаете под "всеми типами", я не понимаю. Забудьте про них полностью. Требуемое равенство доказывается "в одну строчку" совершенно одинаково для всех мыслимых и немыслимых "типов", достаточно определения отображения и понимания того, что нужно доказать.

Да, действительно так. Возможно, меня запутало определение, которое запомнилось из другого учебника.

[Aritaborian]

sirin0880 в сообщении #1517803 писал(а):

определение отображения как произвольного подмножества некоего Декартового произведения

Это отношение, а не отображение. Но вы, наверное, просто опечатались.

[sirin0880]

Aritaborian в сообщении #1517808 писал(а):

sirin0880 в сообщении #1517803 писал(а):

определение отображения как произвольного подмножества некоего Декартового произведения

Это отношение, а не отображение. Но вы, наверное, просто опечатались.

Да,верно,там оговорка.

[GlobalMiwka]

Вы представте, что элеметны подмножетсва $A_1\subset X$ отображаются в элемента $b_1\in Y$, потом $A_2\subset X$ отображаются в элемента $b_2\in Y$. Теперь допустим $a\in A_1\cap A_2$ т.е. одновременно пренадлежит и $A_1\subset X$ и $A_2\subset X$. В какой элемент отображается элемента $a$ ?