Неточечные контакты в 4-х точечной схеме измерения

[Fenribel]

Здравствуйте!

Измерил сопротивление микрообразца по четырёхточечной схеме на микро-мостике холла. В эксперименте необходимо расположить потенциальные контакты на минимальном расстоянии, но разрешение микроструктуры ограничивается разрешением литографии, так что расстояние между потенциальными контактами оказалось равным ширине контактов (см картинку). Как из измеренного напряжения и тока получить удельное сопротивление структуры? Если бы потенциальные контакты были бы точечными, сделать это было бы просто.


В общем, можно и смоделировать на компьютере распределение потенциала в моей схеме измерения -- но кажется, что коэффициент пересчёта "точечного" измерения напряжения в "неточечное" при расчёте удельного сопротивления должен быть универсальным -- может быть, его уже кто-то нашёл? Пытался найти в интернете, но не нашёл.
Самое близкое, что приходит на ум -- статья Ван дер Пау про его метод измерения сопротивления (A METHOD OF MEASURING SPECIFIC RESISTIVITY AND HALL EFFECT OF DISCS OF ARBITRARY SHAPE), но это всё ещё не совсем то, что нужно

[realeugene]

Fenribel в сообщении #1517733 писал(а):

В общем, можно и смоделировать на компьютере распределение потенциала в моей схеме измерения -- но кажется, что коэффициент пересчёта "точечного" измерения напряжения в "неточечное" при расчёте удельного сопротивления должен быть универсальным -- может быть, его уже кто-то нашёл? Пытался найти в интернете, но не нашёл.

Универсальным он, конечно, быть не может, так как должен зависеть от геометрии, в том числе, от геометрии боковых контактов. Если контакты - это перпендикулярные прямоугольные достаточно длинные проводники, расположенные достаточно далеко друг от друга, из симметрии задачи очевидно, что измеряемые потенциалы соответствуют потенциалам на центральных линиях отвода проводников. Но в случае такого маленького проводящего квадрата между отводами, мне кажется, лучше и точнее просчитать искомый коэффициент численно. Может быть, отличие окажется и незначительным.

[Fenribel]

realeugene в сообщении #1517737 писал(а):

Fenribel в сообщении #1517733 писал(а):

В общем, можно и смоделировать на компьютере распределение потенциала в моей схеме измерения -- но кажется, что коэффициент пересчёта "точечного" измерения напряжения в "неточечное" при расчёте удельного сопротивления должен быть универсальным -- может быть, его уже кто-то нашёл? Пытался найти в интернете, но не нашёл.

Универсальным он, конечно, быть не может, так как должен зависеть от геометрии, в том числе, от геометрии боковых контактов

Да, конечно он будет зависеть от геометрии. Обычно кладут потенциальные контакты длинными прямоугольниками. Так что этот коэффициент должен зависеть от отношения размера контактов к расстоянию между ними. Специфика работы с маленькими структурами заключается в том, что есть ограничение по разрешению структуры, поэтому при наименьшем размере структуры минимальное отношение размера контактов к расстоянию между ними равно единице. Я имел в виду именно эту универсальность -- искомый коэффициент при минимальном расстоянием между контактами и минимальном размере структуры.

Интересно, в то же время, подумать над задачей мысленно, а не численно -- в первом приближении можно считать, что такие "большие" контакты не вносят вклад в распределение тока по мостику и измеряют напряжение в какой-то точке, находящейся внутри контакта. Что это за точка? Как она смещена относительно середины контакта -- влево или вправо? Наверняка существует какие-то соображения, позволяющие оценить это отклонение -- сейчас буду думать над этим.

[realeugene]

Fenribel в сообщении #1517739 писал(а):

в первом приближении можно считать, что такие "большие" контакты не вносят вклад в распределение тока по мостику

Вносят, но зачем вам это знать? В области контактов ток выпирает вбок в контакты, так что, на сопротивление такого короткого мостика существенно влияет и область контактов. С другой стороны, эквипотенциальные поверхности перпендикулярны линиям тока, а не проводнику. Поэтому нельзя и указать определённую координату на проводнике с таким потенциалом, только некоторую выходящую в контакт кривую пересекающую проводник эквипотенциальную поверхность.

В первом приближении эта поверхность перпендикулярна проводнику и проходит по осевой линии контакта, если игнорировать влияние каждого контакта на распределение тока с другой стороны мостика. Но это всё равно вам не даёт возможности посчитать сопротивление мостика.

[Dmitriy40]

А не проще не заморачиваться и просто откалибровать по известному току? Т.е. подать внешний ток и измерить падение напряжения. Можно даже заранее предусмотреть соответствующие выводы для подачи тока (или собрать рядом специальную схему стабилизатора тока, смотря что удобнее). Можно даже в процесс финального тестирования эту процедуру внести.

[Fenribel]

Dmitriy40 в сообщении #1517743 писал(а):

А не проще не заморачиваться и просто откалибровать по известному току? Т.е. подать внешний ток и измерить падение напряжения.

Собственно, я это и делаю. Пускаю известный ток, измеряю падение напряжения на потенциальных контактах. Моя цель -- определить удельное сопротивление структуры, которое заранее неизвестно.

Но на самом деле идея неплохая -- не проводить численные расчёты, а провести опыт с макроскопическим материалом известного сопротивления. Если коэффициент пересчёта узких контактов в широкие зависит только от геометрии, достаточно произвести такую же систему из известного материала с известной проводимостью и измерить этот коэффициент пересчёта на ней. Другой вопрос -- зависит ли этот коэффициент от чего-либо, помимо геометрии? На первый взгляд кажется, что нет: если ток течёт по длинному прямоугольнику (без потенциальных контактов), то он распределяется по сечению равномерно; в моей геометрии с широкими контактами ток заходит в область контактов -- и глубина этого захода, кажется, не зависит от удельного сопротивления (главного параметра системы, помимо геометрии): если при прочих равных менять удельное сопротивление материала, это приведёт только к кратному увеличению падения напряжения между любыми двумя точками, но картина силовых линий поменяться не должна.

[realeugene]

Fenribel в сообщении #1517767 писал(а):

Но на самом деле идея неплохая -- не проводить численные расчёты, а провести опыт с макроскопическим материалом известного сопротивления.

Проще просчитать численно, если есть подходящий пакет для численных расчётов методом конечных элементов под рукой.

[Dmitriy40]

Fenribel в сообщении #1517767 писал(а):

Моя цель -- определить удельное сопротивление структуры, которое заранее неизвестно.

Пока это выглядит как работа ради работы, т.е. без практического результата. Ведь наверняка интересует не само удельное сопротивление такой структуры, а оно зачем-то ещё нужно. Для измерения тока в работающей схеме или для оценки качества изготовления структур или ещё чего. И, возможно, стоит не пытаться вычислить удельное сопротивление, а просто его измерить и потом уже спокойно использовать конкретное значение.
Хотя в качестве умственного упражнения задачка интересна.
Я как бы не компетентен, но на первый взгляд кажется (хотя бы из соображений симметрии, согласен с realeugene) точка съёма потенциала будет по центру каждого из проводников.

Раз речь про литографию с мелкими нормами, то лично я опасаюсь появления эффектов "второго порядка", например зависимости сопротивления от тока (скажем банальный саморазогрев) или нестабильности толщины проводящего слоя. Которые посчитать чисто из геометрии может просто не получиться, даже численно.

[realeugene]

Dmitriy40 в сообщении #1517777 писал(а):

Которые посчитать чисто из геометрии может просто не получиться, даже численно.

Измерить всё сразу - тем более.

Fenribel,
Посмотрите Comsol Multiphysics. Если вы занимаетесь литографией, есть шанс, что вы его, даже, сможете купить за небольшую долю от бюджета проекта.

[Fenribel]

Dmitriy40 в сообщении #1517777 писал(а):

Пока это выглядит как работа ради работы, т.е. без практического результата. Ведь наверняка интересует не само удельное сопротивление такой структуры, а оно зачем-то ещё нужно. Для измерения тока в работающей схеме или для оценки качества изготовления структур или ещё чего. И, возможно, стоит не пытаться вычислить удельное сопротивление, а просто его измерить и потом уже спокойно использовать конкретное значение.
Хотя в качестве умственного упражнения задачка интересна.

Да, собственно, этим я конкретно сейчас здесь и занимаюсь -- мысленным упражнением. Конкретно в моей задаче нет в прицнипе сложности простым методом измерить удельное сопротивление -- нужно только взять контакты на большем расстоянии друг от друга. Буквально сейчас этим и занимаюсь на измерительной установке. Интересна мне, однако, и поставленная мною задача сама по себе -- каков же коэффициент перевода между широкими и узкими контактами.

Dmitriy40 в сообщении #1517777 писал(а):

Я как бы не компетентен, но на первый взгляд кажется (хотя бы из соображений симметрии, согласен с realeugene) точка съёма потенциала будет по центру каждого из проводников.

Да, я с этим теперь тоже согласен -- почему-то не сообразил сразу. Другое дело, насколько сильно ток будет заходить вглуби контакта. Кажется, это зависит по какому-то экспоненциальному закону, длина затухания которого сопоставима с характерным размером задачи -- расстоянием между контактами. Так что вполне возможно, что конечная ширина контактов и даёт конечный (порядка, возможно, 20-30% вклад в конечный результат).

Dmitriy40 в сообщении #1517777 писал(а):

Раз речь про литографию с мелкими нормами, то лично я опасаюсь появления эффектов "второго порядка", например зависимости сопротивления от тока (скажем банальный саморазогрев) или нестабильности толщины проводящего слоя. Которые посчитать чисто из геометрии может просто не получиться, даже численно.

Отсутствие зависимости сопротивления от тока я обеспечу малым током. А толщина проводящего слоя у меня всегда одна и та же -- 8нм. Я использую для измерений квантовую яму высокого качества.

-- 10.05.2021, 01:04 --

realeugene в сообщении #1517781 писал(а):

Посмотрите Comsol Multiphysics. Если вы занимаетесь литографией, есть шанс, что вы его, даже, сможете купить за небольшую долю от бюджета проекта.

Да, спасибо за название -- попробую сопоставить численный расчёт и эксперимент :) посмотрим, насколько они сойдутся...
Фундаментальное ограничение видно почти сразу -- вряд ли точность расчёта будет лучше нескольких процентов -- примерно такое отличие имеет изготовленная микроструктура от той, что нарисована в программе литографа: из-за конечного разрешения литографии и изотропного процесса травления задуманные прямоугольниками углы получаются сглаженными.

[realeugene]

Точка съёма будет по строго центру только если другие проводники достаточно далеко. Близко расположенные другие соединения будут нарушать симметрию и сдвигать точку.

Ток будет залазить примерно на половину ширины контакта. Дальше возмущение будет быстро затухать по длине контакта, наверное, экспоненциально. В общем, лучше считать численно точную геометрию, тем более, что эта задача линейная и, следовательно, считается численно очень быстро и без больших ошибок. Да и слабые нелинейности учесть в ней можно без неприятностей при желании.

[Dmitriy40]

Fenribel
Довольно очевидно что задача однопараметрическая — удобно взять отношение сторон контакта съема потенциала. От расстояния между контактами зависимости в первом приближении быть не должно. От абсолютных размеров контактов тоже. Остаётся только отношение размеров.
И да, это лишь если проводники от контактов длинные и ровные, т.е. любые утолщения не ближе чем несколько "характерных размеров", чтобы их влияние было пренебрежимо мало. Сам этот "характерный размер" как раз и получите расчётом. Хоть вдвое падение тока, хоть в $e$ раз.
В принципе понятно что такая задача уже и ставилась и решена аналитически (вроде не так уж сложно уравнения составить и решить), но куда точно послать за её решением я не знаю, не физик.

Пошарившись в гугле нашёл пару ссылок, не слишком подходящих, но вдруг, посмотрите:
http://genphys.phys.msu.ru/rus/diploma/ ... evtsov.pdf - довольно банальная работа, но картинка теплового поля на стр.24 это прям ваш ток, ну и список литературы может быть полезен
https://elcut.ru/advanced/conductor_current_flow.htm - а тут похоже уже решали именно вашу задачу, правда не понял что у них за программа (но есть пробная версия)

[Fenribel]

Эксперимент провести сегодня не удалось, может быть, получится к вечеру -- образец проявляет большие странности при низкой температуре...
А пока он остужался-нагревался-измерялся, я провёл численный расчёт в комзоле в следующих двух геометриях (первая и вторая, соответственно):


Я пускал во всех экспериментах один ток через концы структуры (так чтобы падение напряжения на всей структуре было порядка мВ, при ширине мостика 4 микрона). Брал два разных материала -- алюминий и медь: отличие в моих рассчётах для этих двух материалов третьем знаке после запятой (но эта погрешность следует скорее не из разной проводимости материалов, а из того, что я измерял напряжение в разных экспериментах не в одних и тех же точках -- при каждой замене конфигурации эксперимента (материал и форма боковых контактов) тыкал в контакт для указания точки измерения мышкой). Так что от материала мало что зависит.

Но весьма много -- 5% результата -- зависит от того, каким образом снимать "идеальное" сопротивление на удалённых друг от друга контактов. В эксперименте используется конфигурация, изображённая на 1 картинке -- когда удалённые контакты имеют конечную ширину. "Идеальное" же сопротивление измеряется на второй картинке -- когда удалённые контакты точечные.

Таким образом, получились вот какие коэффициенты пересчёта:
Если брать напряжение между близкими толстыми контактами и делить его на пускаемый через систему ток, то чтобы получить "идеальное" сопротивление, нужно делить результат вычисления на 1,740 (кстати, численно это похоже на 2e/pi = 1,731 -- кто предложит комбинацию констант лучше?). Если же нужно пересчитать напряжение на толстых удалённых контактах делённое на пускаемый ток в "идеальное" сопротивление, то нужно делить результат на 1,086

[Dmitriy40]

Fenribel в сообщении #1517952 писал(а):

1,740 (кстати, численно это похоже на 2e/pi = 1,731 -- кто предложит комбинацию констант лучше?)

$\sqrt{3}$

[Theoristos]

Как вариант - моделируется в Ansys "Maxwell". Тоже платный.
Или действительно откалибровать.