Разложить по синусам (косинусам) ЧЁТНЫХ дуг

[artempalkin]

Дорогие друзья, подскажите, что может значить такое задание?

Разложить в ряд Фурье следующую функцию по синусам четных дуг:

$f(x)=x$.

Что-то задание не совсем мне понятно. Во-первых, не дана область, на которой нужно разложить, а во-вторых, непонятно, что значит "по синусам четных дуг". Я уж было подумал, что это значит разложить на $[-\pi/2;\pi/2]$, тогда будут синусы типа $2x,\ 4x...$. Но в соседнем задании:

Разложить по синусам НЕЧЕТНЫХ дуг $f(x)=x^3$ на $[-\pi;\pi]$.

Короче, чего-то я не понимаю в этой терминологии, и гугл не помог. Что такое разложение по синусам либо косинусам КРАТНЫХ дуг, понятно, хотя глубокую суть этих терминов я не понимаю (почему не просто "по синусам" или "косинусам"? причем тут дуги?). А четные или нечетные дуги - вообще загадка.

[Aritaborian]

А что за книга?

[artempalkin]

Aritaborian в сообщении #1517340 писал(а):

А что за книга?

Не книга, д/з 4-го семестра ВМК МГУ. В книгах пока не смог найти, как и в гугле.

[alisa-lebovski]

По-моему, это значит по $\sin nx$, где $n$ четные или нечетные соответственно.

[artempalkin]

alisa-lebovski в сообщении #1517349 писал(а):

По-моему, это значит по $\sin nx$, где $n$ четные или нечетные соответственно.

Ну допустим, но как этого добиться? Особенно в случае заданного сегмента типа $[-\pi;\pi]$.

[alisa-lebovski]

Уточните, в чем проблема. Функция нечетная, синусы тоже. Косинусов не будет.

[artempalkin]

alisa-lebovski в сообщении #1517352 писал(а):

Уточните, в чем проблема. Функция нечетная, синусы тоже. Косинусов не будет.

Непонятно, что означает разложить "по синусам четных дуг" и по "синусам нечетных дуг".

[alisa-lebovski]

Представить в виде

$$x=\sum_{k=1}^\infty a_k\sin 2kx,\quad x^3=\sum_{k=0}^\infty a_k\sin (2k+1)x.$$

[artempalkin]

alisa-lebovski в сообщении #1517356 писал(а):

Представить в виде

Но, по моим представлениям, это невозможно :)
Если раскладывать на $[-\pi;\pi]$, то ни один из этих рядов ни с какими коэффициентами не сойдется к функции.

Если раскладывать на $[-\pi/2;\pi/2]$, то первый ряд подойдет, но тогда непонятно вот это задание

artempalkin в сообщении #1517337 писал(а):

Разложить по синусам НЕЧЕТНЫХ дуг $f(x)=x^3$ на $[-\pi;\pi]$.

Подскажите, а где будет сходиться к функции такое разложение

alisa-lebovski в сообщении #1517356 писал(а):

$x^3=\sum_{k=0}^\infty a_k\sin (2k+1)x.$

Я что-то не очень понимаю.

[alisa-lebovski]

Имеется в виду, первое на $[-\pi/2,\pi/2]$, второе на $[-\pi,\pi]$. Это определяется первым синусом в ряду. Возможно, имеется в виду формальное разложение Фурье, сходимость не гарантируется.

[svv]

Вот статья, где это выражение употребляется. Стр. 25 и 26.
https://izv.etu.ru/assets/files/izv-etu ... -25-30.pdf

[arseniiv]

Да, не было бы проблем, если бы сразу давали функцию, определённую на окружности, и спрашивали разложить в обычный и единственно естественный для таких функций ряд Фурье по экспонентам, путают людей без повода. А преобразовывать функции на отрезке — это химера, ни $\mathbb R$ тебе с преобразованием Фурье, ни $\mathbb R / a \mathbb R$ с рядом, непонятно какие естественные требования к разложению. На практике всегда должно будет оказаться ясно, что применять, и по идее можно будет сформулировать интересующее преобразование как одно из таких естественных, где условия «лишь коэффициенты с номерами $k_1 n + k_2$ могут быть ненулевыми» автоматически испарятся выбором правильной области определения.

[RIP]

Определения термина не встречал, но в методе Фурье при определённых краевых условиях приходится раскладывать по нечётным синусам/косинусам, правда, на промежутке $(0,l)$. Если функцию продолжить на промежуток $(-2l,2l)$ по правилам:
1) $f(2l-x)=f(x),\quad x\in(0,l)$,
2) $f(-x)=-f(x),\quad x\in(0,2l)$,
то её р.Ф. на промежутке $(-2l,2l)$ будет иметь вид

$$\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2l},\quad b_{2n-1}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2l}\,\mathrm{d}x.$$

Для косинусов похоже.