Дискриминант

[EminentVictorians]

Винберг, стр. 141 писал(а):

Описанная в §8 процедура позволяет выразить $D(\varphi)$ через коэффициенты многочлена $\varphi$. Т.к.

$$deg _{x_1}f = 2n -2,$$

то в силу замечания 8.4. это выражение будет представлять собой некоторый однородный многочлен $\Delta$ степени $2n - 2$ от $a_0, a_1, ... , a_n:$

$$D(\varphi) = \Delta (a_0, a_1, ... ,a_n)$$

Можно рассматривать дискриминант $D(\varphi)$ многочлена $\varphi$ как значение некоторого многочлена от $X_1, ... , X_N$ в точке $(\sigma_1, ... ,\sigma_n)$. Далее, с помощью формул Виета, это выражение преобразуется в другое выражение, но уже через коэффициенты многочлена $\varphi$. В отрывке, насколько я понял, утверждается, что этот дискриминант (а точнее не дискриминант, а тот многочлен от $X_1, ... , X_N$, в который подставляются вместо $X_1, ... , X_N$ $\sigma_1, ... ,\sigma_n$) является однородным многочленом. Я сначала удивился этому факту (что дискриминант однороден относительно коэффициентов многочлена), но потом проверил по википедии вплоть до многочлена 4-ой степени, и эта однородность действительно была. Можете подсказать, как эту однородность доказать?

[EminentVictorians]

А, понял. Этот многочлен от $X_1, ... , X_N$ и не обязан быть однородным. Возьмем его произвольный моном $a_0^{2n -2}(\sigma_1^{l_1} \cdot ... \cdot \sigma_n^{l_n})$. После разложения по формулам Виета в знаменателе появится член $a_0^{l_1 + ... + l_n}$. Далее $a_0^{2n -2}$ и $a_0^{l_1 + ... + l_n}$ можно будет сократить, и тем самым, после выражения этого монома через коэффициенты многочлена $\varphi$, его полная степень будет $2n - 2 - (l_1 + ... + l_n) + (l_1 + ... + l_n) = 2n -2$, т.е. все мономы действительно будут однородными степени $2n - 2$.