Дифференцирование кольца

[Nickspa]

Найти какой-нибудь базис алгебры Ли дифференцирований кольца $K=\mathbb{C}[x,x^{-1}]$.

Дифференцирование - линейное отображение $K\to K$, удовлетворяющее тождеству Лейбница.
Из линейности и Лейбница получаю, что любое дифференцирование достаточно задать на $x$.
То есть для задания дифференцирования мне нужно показать в какой $f(x,x^{-1})$ переходит $x$.
Но не могу понять в какие $f$ я могу перевести $x$.
Предполагаю, что $f=x^n, n\in \mathbb{Z}$. Верно ли? И как показать это?

[Padawan]

По-моему в любой.

-- Ср май 05, 2021 13:28:12 --

Nickspa в сообщении #1516892 писал(а):

Предполагаю, что $f=x^n, n\in \mathbb{Z}$. Верно ли? И как показать это?

Ну так сумма таких и даст любое $f(x,x^{-1})$.

[Nickspa]

Ну то есть это и есть базис?
Меня смущало, что бесконечномерная алгебра.
Хотя ничему не мешает это

[Nickspa]

Вроде, убедился, что всё верно.
Возник вопрос, а какие идеалы в этой алгебре.
Я пришёл к тому, что идеал должен быть бесконечномерным. Подозреваю, что нет нетривиальных.
Но как доказать?