Сигнатура квадратичной формы

[Falex]

Как найти сигнатуру квадратичной формы, заданной матрицей?

$$ \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_0 } & {a_1 } & {a_{n - 1} } \\ {a_1 } & {a_2 } & {a_n } \\ \begin{gathered} \ldots \hfill \\ a_{n - 1} \hfill \\ \end{gathered} & \begin{gathered} \ldots \hfill \\ a_n \hfill \\ \end{gathered} & \begin{gathered} \ldots \hfill \\ a_{2n} \hfill \\ \end{gathered} \\ \end{array} } \right) $$

[ewert]

начать следует с наведения порядка в обозначениях (пока что матрица паталогически не квадратна)

[Falex]

Извините. Навел.

[ewert]

не до конца. В конце -- не два эн.

[Brukvalub]

Привести кв. форму к каноническому виду, подсчитать положительный и отрицательный индексы инерции и найти их разность. См. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%B3%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

[ewert]

я вот не знаю ответа. Но если он существует (в общей ситуации), то возможно лишь одно из трёх: 1), 2) матрица строго положительна (отрицательна) и 3) имеет поровну положительных и отрицательных собственных чисел.

Первый и второй случаи, естественно, недоказуемы. Следовательно, надо попытаться доказать последний (если это и впрямь правда).

[Falex]

Brukvalub, я уже атм читал )А как из этой матрицы получить каноническую форму?

Мне бы вообще надо подобрать $s$, чтобы сигнатура была равна $n$

[ewert]

пыс. Прикинул на матрице $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$. Оба с.ч. положительны. Т.е. задача не имеет смысла.

[Brukvalub]

Вряд ли из такой совершенно абстрактной матрицы, как Ваша, можно что-то получить.

[ewert]

она -- не совершенно абстрактна, каждая следующая строка есть сдвиг предыдущей. Не исключено, что можно доказать одинаковость знаков всех собственных чисел ("нестрогих" знаков, конечно).

----------------------------------------------------------------
а, нет, не получится -- на тех же двумерных примерах. Бессмысленная задача.

[Falex]

Ну таккой пример:
$S_0 = 0, S_1 = 1, S_2 = 0, S_3 = 3, S_4 = 0, S_5 = 5$.

Добавлено спустя 41 минуту 13 секунд:

ewert, в конце как раз $2n$.
так как на примере моем подсчитать сигнатуру?

[ewert]

никак. При произвольной последовательности -- никак.

И в конце всё же $(2n-2)$.

[Falex]

У Просолова в книге "Многочлены" на стр.43 (теорема Сильвестра) написано $2n$.

[ewert]

мало ли что в каких книжках накарябано. Там, небось, и нумерация начинается с единицы, а не с нуля.

[Falex]

С нуля.
что значит мало ли что написано??