Линейное многообразие, содержащее 0

[Zhilbyldyr]

Рассмотрим пространство $E$ над полем $\mathbb{R}$. Векторные подпространства — это линейные многообразия, содержащие 0. Верно ли обратное: если линейное многообразие содержит 0, то оно является векторным подпространством?
Пусть $a+V$ — линейное многообразие, где $a\in E$, $V$ — векторное подпространство,$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$, $x, y \in E$ . Тогда необходимо проверить, что
$\alpha(a+x)+\beta(a+y)\in a+V$.
Преобразуем его к виду:
$(\alpha+\beta)a+\alpha x+\beta y$, где в силу того, что $V$ — векторное подпространство, \alpha x+\beta y \in V$. Далее мои попытки доказательства не приводят к успеху. Подскажите, пожалуйста, в правильную ли я сторону двигаюсь и, если так, что можно попробовать дальше.

[DeBill]

Zhilbyldyr в сообщении #1516519 писал(а):

если линейное многообразие содержит 0

Пока это условие нигде не использовалось...

[Zhilbyldyr]

DeBill в сообщении #1516520 писал(а):

Zhilbyldyr в сообщении #1516519 писал(а):

если линейное многообразие содержит 0

Пока это условие нигде не использовалось...

Что-то в голову ничего не лезет, кроме того, что из этого следует $-a \in V$

-- 03.05.2021, 08:44 --

Zhilbyldyr в сообщении #1516519 писал(а):

$x, y \in E$ .

$x,y \in V$. Опечатался.

[demolishka]

Zhilbyldyr в сообщении #1516523 писал(а):

кроме того, что из этого следует $-a \in V$

А что же Вам ещё надобно?

[Zhilbyldyr]

demolishka в сообщении #1516544 писал(а):

Zhilbyldyr в сообщении #1516523 писал(а):

кроме того, что из этого следует $-a \in V$

А что же Вам ещё надобно?

Придумал: вектор $a$ может быть заменён любым вектором $a+b$, где $b \in V$. Таким образом, $a+V=(a-a)+V=0+V=V$. И тогда очевидно, что $a+V$ является векторным подпространством.