Производная от интеграла с двумя переменными пределами

[Schwarte]

Задание: вычислить предел $\lim_{x\to +0} \frac{\int\limits_{x^3}^{x^2} \dfrac{\sin(t^2)}{t}dt} {\arctg(\sin(x^4))}$ используя правило Лопиталя.
Получается что нужно вычислить предел $\lim_{x\to +0} \frac{(\int\limits_{x^3}^{x^2} \dfrac{\sin(t^2)}{t}dt)\prime} {4x^3}$
Нигде не смогла найти, как же вычисляется производная от интеграла

$$\int\limits_{x^3}^{x^2} \dfrac{\sin(t^2)}{t}dt$$

Подскажите, пожалуйста, как это делается?

[nnosipov]

Schwarte в сообщении #1516469 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как это делается?

Попробуйте вывести нужное правило, основываясь на формуле Ньютона-Лейбница.

[Schwarte]

nnosipov в сообщении #1516471 писал(а):

Попробуйте вывести нужное правило, основываясь на формуле Ньютона-Лейбница.

$(\int\limits_{x^3}^{x^2} \dfrac{\sin(t^2)}{t}dt)\prime = (\int\limits_{x^3}^{x^2} t dt)\prime $
Вычислим неопределённый интеграл $ \int t dt = \dfrac{t^2}{2} $
Тогда: $(\int\limits_{x^3}^{x^2} t dt)\prime = (\dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^6}{2})\prime = 2x^3 - 3x^5 $
Подскажите, пожалуйста, я движусь в правильном направлении?

[nnosipov]

Schwarte в сообщении #1516477 писал(а):

$(\int\limits_{x^3}^{x^2} \dfrac{\sin(t^2)}{t}dt)\prime = (\int\limits_{x^3}^{x^2} t dt)\prime $

Зачем же так радикально? Куда синус-то подевался?

-- Пн май 03, 2021 00:40:49 --

Schwarte в сообщении #1516477 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, я движусь в правильном направлении?

В целом да, но со взятием интегралов нужно поаккуратнее.

[Someone]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1516479 писал(а):

Куда синус-то подевался?

Да нафиг он там нужен? Без него легче.

[iifat]

Schwarte в сообщении #1516469 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как это делается?

Ну, обозначим $F(t)=\int\frac{\sin(t^2)}t$ ...

[Otta]

Schwarte
Ну слова "интеграл с переменным пределом" слышали. А значит, как и дифференцировать их, Вам рассказывали. Вот и дифференцируйте.
Что смущает? что их два? ну разбейте на два интеграла, в каждом из которых будет по одному переменному пределу.
А вообще, формула и для таких есть. Но это необязательно.

-- 03.05.2021, 07:13 --

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1516479 писал(а):

Куда синус-то подевался?

Знамо дело, куда. Эквивалентность же ж.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1516518 писал(а):

nnosipov в сообщении #1516479 писал(а):

Куда синус-то подевался?

Знамо дело, куда. Эквивалентность же ж.

Виноват, затупил