Определитель обратной подматрицы

[pkunlim]

Интересная задача.

Пусть $A$ - невырожденная матрица порядка $n$ и $A(I,J)$ - её невырожденная подматрица на строках и столбцах, определенных системами номеров $I = (i_1, i_2, ... i_k)$ и $I = (j_1, j_2, ... j_k)$, соответственно. Пусть $k<n$, а $I',J'$ - дополнительные системы номеров, то есть оставшиеся номера по строкам и столбцам. Доказать, что

$detA^{-1}(I',J') = (-1)^{i_1+i_2+...+i_k+j_1+j_2+...j_k}detA(I,J)/detA$

Мои рассуждения были такие:

Без потери общности представляем $A$ в блочном виде с перестановкой строк и столбцов, пусть это будет матрица $LA$, где $L$ - матрица перестановок:

$$\begin{bmatrix} A(I,J)& A(I,J')\\ A(I',J)& A(I',J')\\ \end{bmatrix}$$

Тогда определитель матрицы $A$ можно записать в следующих записях с использованием разложения по Шуру и умножением на обратную матрицу $L$ :
$detA = (-1)^{i_1+i_2+...+i_k+j_1+j_2+...j_k}detA(I,J)det[A(I',J')-A(I',J)A^{-1}(I,J)A(I,J')]$
и
$detA = (-1)^{i_1+i_2+...+i_k+j_1+j_2+...j_k}A(I',J')det[A(I,J)-A(I,J')A^{-1}(I',J')A(I',J)]$

Из этого как-то дальше вытащить определитель обратной подматрицы не получается. В итоге - тупик.

[svv]

Пусть $B=A^{-1}$. Запишем $BA=E$ в блочном виде:
$\begin{bmatrix} B(I,J)& B(I,J')\\ B(I',J)& B(I',J')\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A(I,J)& A(I,J')\\ A(I',J)& A(I',J')\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} E& 0\\ 0& E\end{bmatrix}$
Я немного испорчу первый сомножитель.
$\begin{bmatrix}E& 0\\ B(I',J)& B(I',J')\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A(I,J)& A(I,J')\\ A(I',J)& A(I',J')\end{bmatrix}$
Чему равно теперь произведение?

[pkunlim]

svv в сообщении #1513823 писал(а):

Пусть $B=A^{-1}$. Запишем $BA=E$ в блочном виде:
$\begin{bmatrix} B(I,J)& B(I,J')\\ B(I',J)& B(I',J')\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A(I,J)& A(I,J')\\ A(I',J)& A(I',J')\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} E& 0\\ 0& E\end{bmatrix}$
Я немного испорчу первый сомножитель.
$\begin{bmatrix}E& 0\\ B(I',J)& B(I',J')\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A(I,J)& A(I,J')\\ A(I',J)& A(I',J')\end{bmatrix}$
Чему равно теперь произведение?

Большое спасибо. Отсюда легко уже получается произведение определителей. Другой вопрос - как можно было догадаться разложить именно так произведение, можете расписать подробнее свой ход мыслей при рассмотрении данной задачи.

P.S. Ответил в этот раз с задержкой, так как было мало времени последние 2 недели.

[arseniiv]

Я тоже обрадовался, когда увидел, как легко svv раскрыл эту задачу, но post hoc довольно ясно, как к этому прийти:

~ обращение $X$ матрицы связано с уравнением $XY = E$,
~ произведение матрицы, которую мы выразили в блочном виде, выливается в суммирование произведений блоков в результате,
~ потому у нас есть шанс получить уравнение вида $XY = E$ для интересующего блока, если мы умножим блочную $X$ на блочную $Y = X^{-1}$.

Тут мы это запишем, увидим, что что-то не клеится, и… тут мне надо будет посчитать, что же там выходит на деле, чтобы узнать, легко ли увидеть исправления.

-- Пн апр 26, 2021 23:53:01 --

Вероятно, довольно очевидно. Вот изначально у нашего результата определитель 1, но мы хотели бы сделать его более интересным. Чтобы повлиять на результат, проще всего для начала делать блоки нулевыми и единичными (причём единичными в общем случае можно делать только диагональные блоки). Ну вот повертим немного и получается, что у результата определитель уже $\det A(I, J)$, а у левой матрицы одновременно с этим $\det B(I', J')$, ну а определитель $\det A$ у правой так и остался.

[pkunlim]

arseniiv в сообщении #1515754 писал(а):

Я тоже обрадовался, когда увидел, как легко svv раскрыл эту задачу, но post hoc довольно ясно, как к этому прийти:

Так-то, да, post hoc уже просто. Интересно, как человек размышлял изначально. Мне кажется, примерно так: если нужно получить определитель правого нижнего блока отдельно, то неплохо бы обнулить остальные слагаемые, а множитель взять единицей, отсюда и появилась блочная матрица с единичной строкой, а там уже думаешь, что с ней можно сделать, чтобы прийти к решению: умножить на первоначальную матрицу оказывается достаточным. Но это уже так начинаешь думать, когда решение увидел.

-- 27.04.2021, 00:02 --

arseniiv в сообщении #1515754 писал(а):

Вероятно, довольно очевидно. Вот изначально у нашего результата определитель 1, но мы хотели бы сделать его более интересным. Чтобы повлиять на результат, проще всего для начала делать блоки нулевыми и единичными (причём единичными в общем случае можно делать только диагональные блоки). Ну вот повертим немного и получается, что у результата определитель уже $\det A(I, J)$, а у левой матрицы одновременно с этим $\det B(I', J')$, ну а определитель $\det A$ у правой так и остался.

только увидел Ваше дополнение к ответу. Да, скорее, svv именно так и размышлял.

[arseniiv]

pkunlim в сообщении #1515757 писал(а):

Интересно, как человек размышлял изначально.

Да, в любом случае подождём, что он скажет. Наверно что-то ещё полезное.

[Sinoid]

(Оффтоп)

pkunlim в сообщении #1513767 писал(а):

Интересная задача.

Да, открой задачник по высшей алгебре: какую задачу не ткни - интересная, потому что, пока ее решишь, проведешь мини-исследование, еще и нароешь кучу побочного, очень нужного потом.

[svv]

Друзья, вынужден вас разочаровать — я просто однажды случайно где-то увидел подобный приём. Запомнил идею. А искал что-то другое.

[ctdr]

pkunlim в сообщении #1515727 писал(а):

как можно было догадаться разложить именно так произведение

Не знаю, подобрал бы я матрицы для произведения, но всё равно напишу :)

Такие приёмы рассматриваются в учебниках. Посмотрите Кострикина, задачи к параграфу 2. Конкретно, задачу 3, там указания есть. 8,9 тоже там же. В его задачнике тоже, задачи 16.13, 16.14 (см. указания к ним). А дальше наверное опыт.

[pkunlim]

ctdr в сообщении #1515870 писал(а):

pkunlim в сообщении #1515727 писал(а):

как можно было догадаться разложить именно так произведение

Не знаю, подобрал бы я матрицы для произведения, но всё равно напишу :)

Такие приёмы рассматриваются в учебниках. Посмотрите Кострикина, задачи к параграфу 2. Конкретно, задачу 3, там указания есть. 8,9 тоже там же. В его задачнике тоже, задачи 16.13, 16.14 (см. указания к ним). А дальше наверное опыт.

Согласен, после нарешивания задачач, различные подходы к решению откладываются в голове и потом сами всплывают в нужный момент. Именно практика и опыт.