Функция Эйри

[Polarny]

Необходимо проверить, что функция Эйри является решением уравнения Эйри $y''-xy=0$

Функция Эйри $y(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt$.

Дифференцирую $y$ по $x$ под знаком интеграла
$y''=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}t^2\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt=$
$=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}(t^2+x)\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}x\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt=$
Второе слагаемое есть $xy$.
Разбираемся с первым
$-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(\frac{t^3}{3}+xt)d(\frac{t^3}{3}+xt)=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(\alpha)d(\alpha)$

Ведь это же ноль? И вроде, интуитивно понятно. Но как это аккуратно показать?
Или я вообще где-то ошибся?

[Padawan]

Второй раз нельзя дифференцировать под знаком интеграла. Расходящийся интеграл получается. Что Вы и показали. Хитрее надо действовать. Попробуйте ввести множитель сходимости $e^{-\beta t}$.

[Polarny]

Padawan в сообщении #1516310 писал(а):

Попробуйте ввести множитель сходимости $e^{-\beta t}$.

После первого дифференцирования или сразу?

-- 01.05.2021, 18:31 --

Padawan в сообщении #1516310 писал(а):

Второй раз нельзя дифференцировать под знаком интеграла

Почему, чем отличается от предыдущего?

[lel0lel]

Уравнение легко решается если перейти к Фурье образу, а затем обратно.

[Polarny]

Но мне не надо уравнение решать, надо проверить что это решение

[Padawan]

Рассмотрите функцию $y_\beta(x)=\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty}e^{-\beta t}\cos(t^3/3+xt)dt$, где $\beta>0$, и запишите какому дифференциальному уравнению она удовлетворяет.

[Polarny]

Видимо, что-то не сложное, но не могу придумать. Как я понимаю, можно продифференцировать один раз по $x$, но там вылезет синус. Наверное, уравнение 1-го порядка будет

[Padawan]

Так точно то же, что Вы делали при $\beta=0$.

-- Сб май 01, 2021 22:33:51 --

Будет уравнение $y''=xy+g_\beta(x)$, где $g_\beta(x)$ равномерно стремится к нулю при $\beta\to 0+0$ на любом конечном отрезке.

[Polarny]

А почему здесь я имею право дважды дифференцировать, а перед этим не имел?

[StaticZero]

Polarny в сообщении #1516339 писал(а):

А почему здесь я имею право дважды дифференцировать, а перед этим не имел?

Сравните

$$ \int \limits^\infty t^2 e^{-\beta t} \cos f(t) \ \mathrm dt \quad \text{vs} \quad \int \limits^\infty t^2 \cos f(t) \ \mathrm dt $$

Кому из них верите, что он сходится?

[Polarny]

Просто не пойму вот чего - беру функцию, дважды дифференцирую - получаю расходящийся интеграл.
Но если беру эту функцию как предел другой при некотором стремлении параметра, то всё работает.
Но это же одна и та же функция.
Возможно, глупый вопрос

[Farest2]

Polarny в сообщении #1516342 писал(а):

Возможно, глупый вопрос

Это пробелы в образовании.

По поводу экспоненциальной добавки см. Фихтенгольц-2, п.520.
По поводу дифура для функции Эйри -- Ф.Олвер. Асимптотика и специальные функции (М.:Наука,1990), пп.8.1-8.3.

[Someone]

Polarny в сообщении #1516339 писал(а):

А почему здесь я имею право дважды дифференцировать, а перед этим не имел?

Берёте учебник математического анализа (например, трёхтомник Фихтенгольца), открываете раздел о несобственных интегралах, зависящих от параметра, и тщательно его изучаете. При необходимости штудируете также разделы, на которые есть ссылки из этого раздела, и так далее. В итоге получаете ответ на свой вопрос. По-моему, короче никак.

Конечно, здесь Вам могут просто процитировать соответствующую теорему, но Вы вряд ли поймёте, что она означает, раз Вы об этом раньше ничего не слышали.

[Padawan]

Farest2 в сообщении #1516419 писал(а):

По поводу дифура для функции Эйри -- Ф.Олвер. Асимптотика и специальные функции (М.:Наука,1990), пп.8.1-8.3.

Там сначала несобственный интеграл преобразуется в интеграл по контуру в комплексной плоскости. Я предлагал чисто вещественное доказательство, правда использующее нетривиальную теорему о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий и от параметра. Поскольку ТС не отвечает, напишу основные моменты.
1) Для $\beta>0$ рассматриваем функцию $y_\beta(x)=1/\pi\int\limits_0^\infty e^{-\beta t}\cos(t^3/3+xt)dt$. Известно (см. приведённую выше ссылку на Фихтенгольца-2, п. 520), что для любого фиксированного $x$ выполнено $\lim\limits_{\beta\to 0+0} y_\beta(x)=y_0(x)$, где $y_0(x)=1/\pi\int\limits_0^\infty \cos(t^3/3+xt)dt$ -- наша функция Эйри. (на самом деле сходимость является равномерной на любом конечном отрезке $x\in [a,b]$, но здесь достаточно поточечной сходимости. Хотя дальше равномерную сходимость для аналогичного интеграла всё равно придётся доказывать.)
2) При $\beta>0$ законно дифференцирование $y_\beta(x)$ по $x$ под знаком интеграла любое число раз. Дифференцируем два раза

$$ y_\beta''(x)=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\beta t}t^2\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt=$$ $$ =-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\beta t}(t^2+x)\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}xe^{-\beta t}\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt=g_\beta(x)+xy_\beta(x), $$

где

$$ g_\beta(x)=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\beta t}(t^2+x)\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt=(\text{по частям})=-\frac{\beta}{\pi}\int\limits_0^\infty e^{-\beta t} \sin\left(\frac{t^3}3+xt\right)dt $$

3) Таким образом, функция $y_\beta(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y''=xy+g_\beta(x)$ и начальным условиям $IC_\beta:$ $y(0)=1/\pi\int\limits_0^\infty e^{-\beta t}\cos(t^3/3)dt$, $y'(0)=-1/\pi\int\limits_0^\infty e^{-\beta t} t\sin(t^3/3)dt$. Функция $g_\beta (x)$ при $\beta\to 0+0$ равномерно стремится к нулю на любом конечном отрезке $x\in[a,b]$ (это надо доказать), а начальные условия стремятся к начальным условиям $IC_0:$ $y(0)=1/\pi\int\limits_0^\infty \cos(t^3/3)dt$, $y'(0)=-1/\pi\int\limits_0^\infty t\sin(t^3/3)dt$. По теореме о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий и параметров, функция $y_\beta(x)$ при $\beta\to 0+0$ стремится к решению дифференциального уравнения $y''=xy$ с начальными условиями $IC_0$. Но $y_\beta(x)\to y_0(x)$. Значит, $y_0(x)$ является решением уравнения $y''=xy$.

[lel0lel]

На самом деле это проблема сродни интегральному представлению дельта функции Дирака. Как известно $\delta(1)$ должно быть равно нулю, но на первый взгляд интеграл расходящийся. Можно поступить так: определить дельта функцию как предел интеграла с пределами интегрирования, подобранными так, что при стремлении пределов к бесконечности интеграл равен нулю всюду, кроме точки ноль, где он расходится. То есть интегрирование постоянно ведётся по целому числу периодов, которое устремляется к бесконечности. Тогда не будет проблем ни с дельта функцией, ни с этой задачей.