Задача Коши для нелинейной системы ОДУ

[mclord]

Здравствуйте!

У меня возникло затруднение со следующим заданием:

Рассмотреть решение задачи Коши для следующей системы ОДУ:
$\begin{cases} \dot{x_1} = (x_2 - 2)(3x_1 + x_2 - 5),\\ \dot{x_2} = {x_1}^{2} + {x_2}^{2} - 13. \end{cases}$
Найти особые точки системы и указать множество начальных данных, для которых решение задачи имеет тот или иной характерный вид.

Я нашел особые точки системы (их всего 4). Далее линеаризовал систему в каждой особой точке и получил фазовый портрет в каждой из точек.
Однако у меня не получается разобраться, как искать то множество начальных данных, о которых идет речь в условии.

Спрашивал у преподавателя - он предлагал для поиска начальных данных решить системы неравенств:
$\dot{x_1} > 0, \\\dot{x_1} < 0, \\\dot{x_2} > 0, \\ \dot{x_2} < 0, \\$
но я все равно до конца не понял, что это нам даст.

Спасибо

[GAA]

Точки покоя:
$A_1 (3, 2)$ — седло;
$A_2 (-3, 2)$ — седло;
$A_3 \left(\frac 3 2 - \frac {\sqrt{105}} {10}, \frac 1 2 + \frac {3\sqrt{105}} {10}\right)$ — неустойчивый узел;
$A_4 \left(\frac 3 2 + \frac {\sqrt{105}} {10}, \frac 1 2 - \frac {3\sqrt{105}} {10}\right)$ — устойчивый фокус.
По заданию, как я понял, нужно построить фазовый портрет.
Чтобы меньше было возни с индексами я $x_1$ обозначил через $x$, а $x_2$ — через $y$.
Т.к. Вы исследовали точки покоя, то можете построить «главные оси» в каждой из них. На рис. ниже я построил сепаратрисы седла $A_1$ (линии 1—4). Стрелками на фазовых кривых показано направление движения. Анализирую знаки производных, я заключил, что сепаратриса 1 выходит из седла $A_1$ и уходит на бесконечность. А сепаратриса 2 приходит из бесконечности в это седло. В области $I$ (ограниченной сепаратрисами 1 и 2) фазовые кривые будут вести себя подобно фазовым кривым линейной системы вблизи седла. Для иллюстрации я построил фазовую кривую 10. (На фазовом портрете её строить не нужно, чтобы не загромождать портрет лишними линиями. Также ради иллюстрации построена фазовая кривая 11, заканчивающаяся в устойчивом фокусе $A_4$).

Вложение:

Комментарий к файлу: Черновик к построению фазового портрета

PhP.png [ 594.9 Кб | Просмотров: 0 ]

Аналогично, видимо, надо действовать и в случае точек $A_2$, $A_3$.

[mclord]

GAA
Большое спасибо за помощь! С оставшимися точками должен справиться.
Не подскажете, в какой программе строили такой график?

[GAA]

Сначала в Maple 15 Classic Worksheet. (Digits = 10 — быстро что-то нарисовать. Точности вычислений явно не хватает. Если бы не черновик, то в Digits занес бы число побольше.)
Рисунок был экспортирован в ps.
В графическом редакторе импортирован ps и на часть фазовых кривых сверху были наложены стрелки для обозначения направления движения по фазовой кривой. (Аккуратно стрелка с фазовой кривой не совмещалась — это видно, если внимательно просматривать рисунок.) Также в графическом редакторе были добавлены текстовые надписи на рисунке. Готовый рисунок был экспортирован в png.

[У меня Maple 15 на сложной графике сбоит (причину не выяснил).] Для себя я часто делаю рисунки в Matlab. Потом, аналогично работе c Maple, экспортирую в ps. И уже дорабатываю рисунок в графическом редакторе (с последующим экспортом в векторный графический файл подходящего формата).

[mclord]

Спасибо Вам!