Свойство тройки чисел Фибоначчи

[bayak]

Дайте, пожалуйста, ссылку на источник, в котором имеется это свойство тройки чисел Фибоначчи

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(F_{n}+F_{n-1}+F_{n-2})^2}{F_{n}^{2}+F_{n-1}^{2}+F_{n-2}^{2}}=\varphi^2$$

где $\varphi$ - золотое сечение. Википедия почему-то об этом замечательном свойстве умалчивает.

[TOTAL]

Такой источник пойдет?

$$\frac{(\varphi^2+\varphi+1)^2}{\varphi^{4}+\varphi^{2}+1}=\varphi^2$$

[nnosipov]

А что в этом свойстве замечательного? Предел, очевидно, существует и чему-то из поля $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ равен.

[bayak]

TOTAL в сообщении #1516213 писал(а):

Такой источник пойдет?

Не понял.

nnosipov в сообщении #1516214 писал(а):

А что в этом свойстве замечательного?

Напоминает формулу Коидэ

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (Св)»
Причина переноса: очередное возобновление темы из Пургатория.

[svv]

Левая часть получается с помощью стандартных правил нахождения пределов и $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\varphi$.

[arseniiv]

Если ТС будет заглядывать в тему:

bayak в сообщении #1516217 писал(а):

Не понял.

Поделите исходную дробь на $F_{n - 2}^2$ и получите дробь, где встречаются только отношения $F_{n - k} / F_{n - 2}$, ну и пределы этих отношений вы наверно понимаете. Пара свойств пределов арифметических операций — вот и вылезет дробь, указанная TOTAL.

Вообще если хоть немного разбираться в числах Фибоначчи, это должно бы быть очевидным, ну честно. При этом не надо быть знатоком каких-то хитрых соотношений: раз предел, то и знать только предел и огрызок теории рекуррентных соотношений, и даже не обязательно знать его точно, достаточно смутной интуиции.

О, svv опередил.

[Pphantom]

bayak, бан на месяц за очередное возобновление темы из Пургатория. Следующее станет последним.