Являются ли эффекты кривизны следствием эффектов связности?

[Alastoros]

Являются ли эффекты кривизны следствием эффектов связности, и возможно ли это представить наглядно для всех слагаемых, образующих тензор кривизны?

Например, пусть есть планета с гравитационным полем и два тела, пусть рассматривается сферическая система координат с началом в центре планеты, например Земли, поле неоднородно по радиусу (увеличивается к центру), гравитация сообщает всем телам одно и то же ускорение, теперь пусть два тела разделены радиально, тогда одно из них ближе к началу координат, а второе дальше, поэтому на первое действует ускоряющая сила гравитации большая, чем на второе, и ускорение первого будет больше, чем ускорение второго, и радиальное расстояние между ними будет увеличиваться.

Как это выглядит в уравнениях? Из компонент метрического тензора есть только ${g_{00}} = {1 - {\frac{2Gm}{r{c^2}}}}$, отсюда можно вычислить наблюдаемую компоненту символов Кристоффеля ${{{\Gamma}^1}_{00}} = {\frac{g}{c^2}}$, которое будет сообщать ускорение ${-g}$ (так как тела рассматриваются в системе координат Земли, то результат означает уменьшение радиальной координаты тела - т.е. его приближение к центру Земли), и тензора кривизны ${{R^1}_{001}} = {\frac{2g}{r{c^2}}}$, которая будет увеличивать радиальное расстояние между двумя ускоряемыми телами.

Таким образом, в рассмотренном примере именно ускоряющий эффект связности обуславливает относительное ускорение геодезических - если бы два тела не ускорялись ею (с ее двумя различными значениями), радиальное расстояние между ними не стало бы увеличиваться (под действием кривизны).

Но если эффекты кривизны являются следствием эффектов связности, то что бы было, например, в какой-нибудь гипотетической системе, где из всех компонент связности была бы только ${{{\Gamma}^1}_{01}} = {{{\Gamma}^1}_{10}}$ и, как следствие, компонента тензора кривизны ${{R^1}_{001}} = {{{{\Gamma}^1}_{01}}{{{\Gamma}^1}_{10}}}$, и два тела, радиально разделенные, но изначально не двигающиеся по радиальной координате? Тогда по уравнениям движения эта компонента связности не сообщила бы им никакого ускорения, однако по уравнениям относительного ускорения геодезических кривизна все-таки будет увеличивать радиальное расстояние между ними - а как это возможно, если они не ускоряются?

[epros]

Alastoros в сообщении #1516174 писал(а):

Являются ли эффекты кривизны следствием эффектов связности, и возможно ли это представить наглядно для всех слагаемых, образующих тензор кривизны?

Читал, читал дальнейший пост, но так и не понял в чём вопрос. Что такое "эффекты кривизны"? Кривизна - это характеристика пространства в малой окрестности точки. "Эффект", как я понимаю, может заключаться в том, что соответствующая компонента кривизны либо есть, либо её нет. И что такое "эффекты связности"? Связность - это то, что определяет параллельный перенос. Она как бы всегда есть, даже если компоненты связности нулевые. И в каком смысле одно должно "следовать" из другого? В том, что тензор кривизны определяется через компоненты связности (потому что компонента кривизны определяется как результат переноса по малому контуру)? Так это общеизвестный факт.

[Alastoros]

epros в сообщении #1516180 писал(а):

Что такое "эффекты кривизны"?

Эффект в том, что кривизна воздействует на движение тел, создавая относительное ускорение двух тел по уравнению отклонения геодезических. Такая ситуация, что ${{{\Gamma}^1}_{00}} = 0$, а ${{{\Gamma}^1}_{10}} {\not=} 0$ в ОТО может и не реализуется, но мне интересно воздействие кривизны на движение тел не только в римановой, но и в обобщенной римановой геометрии, так как тензор кривизны образуется из связности, в которую входят не только символы Кристоффеля, но также тензор кручения и вейлевские члены. Что бы было в какой-нибудь области, где есть ненулевой тензор кручения и два тела, а вот символами Кристоффеля можно пренебречь? Так как тензор кручения антисимметричный, то все ${{{\Gamma}^i}_{ka}} = 0$ при совпадающих нижних индексах $k = a$, поэтому может быть ${{{\Gamma}^1}_{00}} = 0$, а ${{{\Gamma}^1}_{10}} {\not=} 0$, отсюда и компонента тензора кривизны ${{R^1}_{001}}$ будет отлична от нуля, а как все это будет действовать на два тела, разделенные радиально? Тензор кручения размыкает параллелограмм, образованный двумя векторами, пусть это векторы скорости тела, умноженные на $ds$, тогда разность координат, соответствующая размыканию параллелограмма, также равна нулю, если тело покоится, следовательно, на покоящееся тело кручение никак не действует, но в уравнении-то отклонения геодезических скорость не требуется, так как если тело покоится, то ${u^0} = 1$ - и два покоящихся радиально разделенных тела начнут сближаться? То же самое и в предыдущей рассмотренной ситуации - если бы из символов Кристоффеля были только ${{{\Gamma}^1}_{10}}$, то по уравнениям движения в гравитационном поле (ЛЛ-2 87.3) тело не будет двигаться под действием такой связности - однако по МТУ-1 поле, генерирующее ускорение, это риманов тензор кривизны (Доп. 1.7), значит, уравнение отклонения геодезических говорит, что оно будет - то есть радиальная компонента вектора, различающего геодезические, будет изменяться - а как это возможно, если такое относительное радиальное ускорение двух изначально покоящихся тел есть следствие ускорения каждого из них связностью по отдельности, а такие ускорения равны нулю? Так что именно верно - что они будут ускоряться и тогда ускорение кривизной не есть результат ускорения связностью, или все-таки оно их результат - и тогда уравнение отклонения геодезических не всегда применимо?

[Emergency]

Alastoros в сообщении #1516174 писал(а):

поле неоднородно по радиусу (увеличивается к центру)

[Alastoros]

(Оффтоп)

Emergency в сообщении #1516192 писал(а):

Это-то понятно, подразумевалось, что тела над поверхностью планеты, где справедливо точечное приближение.

[epros]

Alastoros в сообщении #1516191 писал(а):

Эффект в том, что кривизна воздействует на движение тел, создавая относительное ускорение двух тел по уравнению отклонения геодезических.

Это Вы про приливные силы что-ли? Те, которые являются пространственными градиентами ускорений свободного падения? Ну да, они соответствуют неким компонентам тензора кривизны. И что?

Alastoros в сообщении #1516191 писал(а):

в обобщенной римановой геометрии, так как тензор кривизны образуется из связности, в которую входят не только символы Кристоффеля, но также тензор кручения и вейлевские члены.

Тензор кручения - это такая же связность. Я не понимаю, почему Вы вдруг заговорили о кручении и какое отношение это имеет к физике. Чтобы рассуждать о том, как кручение влияет на какие-то там "движения тел", нужно для начала иметь хоть какую-то физическую теорию, в которой применяется кручение. Предъявите таковую, тогда можно будет и поговорить о его "физических эффектах". А в ОТО кручения нет.

Alastoros в сообщении #1516191 писал(а):

Так что именно верно - что они будут ускоряться и тогда ускорение кривизной не есть результат ускорения связностью, или все-таки оно их результат - и тогда уравнение отклонения геодезических не всегда применимо?

Я не понимаю что такое "ускорение связностью". Связность - это параллельный перенос. А ускорение - это зависимая от выбора системы отсчёта вторая производная перемещения по времени.

[realeugene]

Alastoros в сообщении #1516174 писал(а):

Являются ли эффекты кривизны следствием эффектов связности

Что такое в математике "следствие эффектов"? Тензор кривизны выражается только через связности, да. При этом сами связности выражаются через метрику.

В ОТО пространство без кручения.

-- 01.05.2021, 10:49 --

epros в сообщении #1516225 писал(а):

Предъявите таковую, тогда можно будет и поговорить о его "физических эффектах".

Вот, да, у торсионщиков есть какая-либо непротиворечивая теория, или всё на пальцах?

[Gravitino]

Alastoros
Пусть имеется два тела, движущиеся свободно по $x^{i}$ и по $x^{i}+\delta x^{i}$:

$$ \frac{d^2x^i}{ds^2} +\Gamma^i_{kl}(x^i) \frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=0 \eqno(1)$$

$$ \frac{d^2x^i+d^2 \delta x^i}{ds^2} +\Gamma^i_{kl}(x^i + \delta x^{i}) \frac{dx^k + d \delta x^{k}}{ds}\frac{dx^l + d \delta x^{l}}{ds}=0 \eqno(2)$$

1)Если тела очень близко, то можно разложиться до первого порядка по $\delta x^{i}$ и получить:

$$ \frac{d^2 \delta x^i}{ds^2} + \partial_m \Gamma^i_{kl} (x^i) \delta x^m \frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}+2 \Gamma^i_{kl} (x^i) \frac{d \delta x^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=0 \eqno(3)$$

Выразим $\frac{d^2 \delta x^i}{ds^2}$ через двойную ковариантную производную $\delta x^m$ по $ds$ вдоль кривой $x^i$:

$$\frac{D_x^2 \delta x^i}{ds^2} = \left(\frac{d x^i (s)}{d s} \nabla_i \right)^2 \delta x^i= \frac{D_x}{ds} \left( \frac{d \delta x^i} {ds} + \Gamma^i_{kl} \delta x^k \frac{dx^l}{ds} \right) = \frac{d^2 \delta x^i} {ds^2} + \partial_m \Gamma^i_{kl} \frac{dx^m}{ds} \delta x^k \frac{dx^l}{ds} + \Gamma^i_{kl}\frac{d \delta x^k}{ds} \frac{dx^l}{ds} + $$

$$+ \Gamma^i_{kl} { \delta x^k } \frac{d^2 x^l}{ds^2} + \Gamma^i_{kl} \frac{d \delta x^k }{d s} \frac{dx^l}{ds} + \Gamma^i_{kl} \frac{dx^l}{ds} \Gamma^k_{mi} \delta x^m \frac{dx^i}{ds} \eqno(4)$$

Поскольку $x^i$ - геодезическая, то можно заменить $\Gamma^i_{kl} { \delta x^k } \frac{d^2 x^l}{ds^2}$ на $-\Gamma^i_{kl} { \delta x^k } \Gamma^l_{ik} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^k}{ds}$ и получить подстановкой (4) в (3):

$$\frac{D_x^2 \delta x^i}{ds^2} = \left(\partial_l \Gamma^i_{km} - \partial_m \Gamma^i_{kl} + \Gamma^i_{nl}\Gamma^n_{km}- \Gamma^i_{nm}\Gamma^n_{kl} \right) \frac{dx^k}{ds} \frac{dx^l}{ds} \delta x^m = R^{i}{}_{klm}\frac{dx^k}{ds} \frac{dx^l}{ds} \delta x^m \eqno(5) $$

Уравнение $(5)$ лучше уравнения $(3)$ хотя бы потому что оно общековариантно (при близости $\delta x^m \to \frac{\partial x'^m}{\partial x^l} \delta x^l$ ), а так же имеет физический смысл в локально-инерциальной ИСО (где $\Gamma$ нулевые) тела , движущегося по $x^m$.

Следует иметь ввиду, что вполне может быть ситуация, где по каким-то компонентам $\frac{D_x^2 \delta x^i}{ds^2} \ne 0$ при $ \frac{d^2 \delta x^i}{ds^2} = 0$.

2) Если же тела находятся далеко, то $\frac{D_x^2 \delta x^i}{ds^2}$ не будет иметь физического смысла, следует ограничиться $(3)$.

Собственно, в вашем примере

Alastoros в сообщении #1516174 писал(а):

что бы было, например, в какой-нибудь гипотетической системе, где из всех компонент связности была бы только ${{{\Gamma}^1}_{01}} = {{{\Gamma}^1}_{10}}$ и, как следствие, компонента тензора кривизны ${{R^1}_{001}} = {{{{\Gamma}^1}_{01}}{{{\Gamma}^1}_{10}}}$, и два тела, радиально разделенные, но изначально не двигающиеся по радиальной координате? Тогда по уравнениям движения эта компонента связности не сообщила бы им никакого ускорения, однако по уравнениям относительного ускорения геодезических кривизна все-таки будет увеличивать радиальное расстояние между ними - а как это возможно, если они не ускоряются?

будет нулевое относительное ускорение, а уравнение $(5)$ никак этому противоречить не будет.

Ответ на вопрос

Alastoros в сообщении #1516174 писал(а):

Являются ли эффекты кривизны следствием эффектов связности?

- да, в том смысле, что $(5)$ получено из геодезических $(1)$ и $(2)$.

[Gravitino]

Gravitino в сообщении #1516429 писал(а):

2) Если же тела находятся далеко, то $\frac{D_x^2 \delta x^i}{ds^2}$ не будет иметь физического смысла, следует ограничиться $(3)$.

Извиняюсь, не приближением $(3)$, а я хотел сказать - разве что только лишь разность $\frac{d^2 \delta x^i}{ds^2}$ прямо выразить.

realeugene в сообщении #1516282 писал(а):

epros в сообщении #1516225 писал(а):

Предъявите таковую, тогда можно будет и поговорить о его "физических эффектах".

Вот, да, у торсионщиков есть какая-либо непротиворечивая теория, или всё на пальцах?

А ненулевое кручение может быть в теориях супергравитации, например, правда она формулируется в тетрадном формализме - там спин-связность.