Тригонометрия. Описанная окружность (8 класс)

[Ilya83]

Всем здравствуйте! Делаю первые шаги в тригонометрии. Помогите разобраться...

Задача:
Имеется равнобедренный треугольник с известным основанием. И описанная окружность с известным радиусом.
Найти боковые стороны.

Я применил т. синусов
$\frac{b}{\sin B}=2R$, где $b$ - основание.

и нашел $sinB$

Зачем я это сделал и что делать дальше - я не знаю.

[Pphantom]

Тригонометрия тут не нужна. Есть формула, связывающая стороны треугольника с радиусом описанной окружности, из нее искомый результат сразу же следует.

[Ilya83]

Наверно есть несколько способов решения. Но наверно тут хотят, чтобы задача была решена при помощи тригонометрии. Но я только про т. синусов знаю, где радиус есть.

После того, как я нашел $\sin B$, я использовал триг. тождества и нашел $\cos B$.

Решил применить т. косинусов и получил такое ур-е:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. Т.к. треуг. равнобедренный:

$b^2=2a^2-2a^2\cos B$

И вот получилось:
$\frac{b^2}{\cos B}=2a^2-2a^2$

Что-то тут не так.

-- 29.04.2021, 20:13 --

А как понимать запись вида $\sin^2 \alpha$ ?

Например $\sin^2 30$ будет $\frac{1}{4}$ ?

Верно ли:
$\cos B = \sqrt{1-\sin^2 B} = 1-\sin B$ ?

[kotenok gav]

Ilya83 в сообщении #1516091 писал(а):

$b^2=2a^2-2a^2\cos B$

И вот получилось:
$\frac{b^2}{\cos B}=2a^2-2a^2$

Что-то тут не так.

Извините, а вы умеете делить?

-- 30 апр 2021, 02:13 --

Ilya83 в сообщении #1516091 писал(а):

А как понимать запись вида $\sin^2 \alpha$ ?

Как $(\sin\alpha)^2$.

Ilya83 в сообщении #1516091 писал(а):

Например $\sin^2 30$ будет $\frac{1}{4}$ ?

Да (вы, кстати, знак градуса потеряли).

Ilya83 в сообщении #1516091 писал(а):

Верно ли:
$\cos B = \sqrt{1-\sin^2 B} = 1-\sin B$ ?

Скажу мягко: нет.

-- 30 апр 2021, 02:15 --

Выразите синус из теоремы синусов, выразите косинус через синус, подставьте косинус в теорему косинусов.

[Ilya83]

Цитата:

Выразите синус из теоремы синусов

$\sin B = \frac{b}{2R}$

Цитата:

выразите косинус через синус

$cos B = \sqrt{1-\sin^2 B}$

kotenok gav
Так ?

-- 29.04.2021, 22:23 --

Но я же опять пришел к
$b^2 = 2(a^2-a^2)\cos B$

-- 29.04.2021, 22:26 --

$b^2 = a^2+c^2-2ac\cos B$

[kotenok gav]

Да, так. Подставьте косинус в теорему косинусов нормально, а не как вы делите и извлекаете корни, пожалуйста.

[Sinoid]

Ilya83 в сообщении #1516091 писал(а):

Т.к. треуг. равнобедренный:

Ну, так и проведите медиану к основанию. Чем она еще будет в этом равнобедренном треугольнике?

[Ilya83]

Цитата:

подставьте косинус в теорему косинусов

$b^2 = a^2+c^2-2ac\cos B$ - подставил

Цитата:

Извините, а вы умеете делить?

$b^2 = 2a^2-2a^2\cos B$
$b^2 = 2(a^2-a^2)\cos B$
$\frac{b^2}{2\cos B} = a^2-a^2$

-- 30.04.2021, 07:27 --

Цитата:

Ну, так и проведите медиану к основанию.

Подождите...

Цитата:

Выразите синус из теоремы синусов, выразите косинус через синус, подставьте косинус в теорему косинусов.

Я вот так делал с самого начала. Только kotenok gav сказал(а), что у меня проблемы с делением, а не с тригонометрией.
Вот это хочу прояснить.

[kotenok gav]

Ilya83 в сообщении #1516148 писал(а):

$b^2 = 2a^2-2a^2\cos B$
$b^2 = 2(a^2-a^2)\cos B$
$\frac{b^2}{2\cos B} = a^2-a^2$

[Sender]

Ilya83 в сообщении #1516108 писал(а):

$cos B = \sqrt{1-\sin^2 B}$

Вообще говоря, ничто не запрещает углу $B$ быть тупым.

[Ilya83]

kotenok gav в сообщении #1516153 писал(а):

$b^2 = 2a^2-2a^2\cos B$
$b^2 = 2a^2-\frac{6a^2}{5} = \frac{10a^2-6a^2}{5}$
$b^2 = \frac{4a^2}{5}$
$a^2 = \frac{5b^2}{4}$
$a^2 = 320$
$a = 8\sqrt{5}$

[kotenok gav]

Да, правильно (если $b=16$ и $R=10$).