Разложение матрицы на тензорные сомножители

[Vladimir Pliassov]

При тензорном (или лучше сказать "декартовом"?) перемножении двух одномерных матриц (столбца $u$ и строки $v^T$) получается двухмерная матрица $(u_i v_j)$, равная матрице $(a_{ij}).$

$$\begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots\\ u_n \end{pmatrix} (v_1, v_2, ..., v_n)=\begin{pmatrix} u_1 v_1& u_1 v_2& \ldots& u_1 v_n\\ \\ u_2 v_1& u_2v_2& \ldots& u_2 v_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ u_n v_1&u_n v_ 2& \cdots& u_n v_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}.$$

Возможно ли разложить произвольную матрицу $(a_{ij})$ в тензорное (декартово?) произведение одномерных матриц?

Если возможно, то единственно ли это разложение? Если не единственно, то как получить хоть одно?

[svv]

Нет, конечно. Найдём в полученной матрице любой минор 2-го порядка, например
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=u_1v_1\,u_2v_2-u_1v_2\,u_2v_1=0$
Тем более будут нулевыми миноры более высокого порядка. Ясно, что в произвольной матрице миноры не обязаны быть нулевыми. Это показывает, до какой степени специальной получилась Ваша матрица.

Но Вы всегда можете представить матрицу в виде суммы таких произведений: $A=\sum\limits_i u_i v_i^T$

[nnosipov]

Vladimir Pliassov
А понятие ранга матрицы Вам знакомо? Оно здесь было бы уместно.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1516035 писал(а):

Нет, конечно.

Спасибо! Значит, далеко не каждый тензор может быть разложен в произведение векторов:

Цитата:

"не всякий тензор можно получить умножением векторов. Можно, однако, доказать, что всякий тензор может быть получен из векторов (тензоров ранга один) операциями сложения и умножения." Гельфанд.

И, наверное, тем более, не каждый тензор (достаточно высокого ранга) может быть разложен в произведение тензоров более высокого ранга, чем векторы.

-- 29.04.2021, 14:16 --

nnosipov в сообщении #1516044 писал(а):

Vladimir Pliassov
А понятие ранга матрицы Вам знакомо? Оно здесь было бы уместно.

Да, теперь вижу.

[svv]

Если понятие ранга матрицы не слишком знакомо, всё равно можно к нему приблизиться: если в матрице $A=uv^T$ есть хоть один ненулевой столбец, то любой столбец получается из него умножением на скалярный множитель.

[arseniiv]

Плюс разложение не единственно и в случае ранга 1, и в случае больших: даже в случае ранга 1 мы просто можем один вектор умножить на какой-то скаляр, а другой поделить на тот же скаляр. В случае нескольких слагаемых появляется новая свобода. Допустим, у нас есть линейно независимые векторы $u, v$. Тогда

$$(u + v) \otimes (u + v) - v \otimes v \;\;=\;\; u \otimes v + (u + v) \otimes u \;\;=\;\; v \otimes u + u \otimes (u + v)$$

даёт нам как минимум три разных разложения тензора ранга 2 (если я ничего не упустил!) на минимальное возможное число слагаемых, отличающиеся не просто домножением множителей на скаляры.

[vpb]

Мелкая арифметическая описка (написано $(u+v)\otimes v$, должно быть $(u+v)\otimes u$).

[arseniiv]

Спасибо, поправил!

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1516066 писал(а):

Плюс разложение не единственно и в случае ранга 1, и в случае больших: даже в случае ранга 1 мы просто можем один вектор умножить на какой-то скаляр, а другой поделить на тот же скаляр. В случае нескольких слагаемых появляется новая свобода. Допустим, у нас есть линейно независимые векторы $u, v$. Тогда

$$(u + v) \otimes (u + v) - v \otimes v \;\;=\;\; u \otimes v + (u + v) \otimes u \;\;=\;\; v \otimes u + u \otimes (u + v)$$

даёт нам как минимум три разных разложения тензора ранга 2 (если я ничего не упустил!) на минимальное возможное число слагаемых, отличающиеся не просто домножением множителей на скаляры.

Однако эта ситуация является специфичной для двухвалентных тензоров - у них всегда есть нетривиальная группа симметрии. Для тензоров с тремя сомножителями и более наличие нескольких разложений, не сводящихся друг к другу умножением множителей на скаляры обычно только в случае очень высокого ранга.