Обобщение известного равенства

[rightways]

Докажите, что существует бесконечно много пар $(a,b)$ натуральных чисел таких, что $a\neq b$ и для всех натуральных $n$ выполнено равенство:

$$[\sqrt{a^2n}]+[\sqrt{b^2n+1}]=[\sqrt{(a+b)^2n+3}]$$

где $[x]-$ это целая часть числа $x$ , которая не больше $x$.

Республиканская олимпиада Казахстан, 2021, 11 класс, 2-задача из 6.

[nnosipov]

Насколько я понимаю, можно взять $a=2b$.

rightways
А что так мало задач (3 штуки всего)?

[rightways]

Пардон, было 3 задачи а каждом туре. Всего 6 задач. Кстати, одна задача ваша.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1515858 писал(а):

Кстати, одна задача ваша.

А, значит, таки взяли :) Интересно будет взглянуть на статистику решений.

[rightways]

Да, я отправлю вам когда все будет известно.

[12d3]

rightways в сообщении #1515849 писал(а):

$$[\sqrt{a^2n}]+[\sqrt{b^2n+1}]=[\sqrt{(a+b)^2n+3}]$$

Очепяточка, должно быть так:

$$[\sqrt{a^2n}+\sqrt{b^2n+1}]=[\sqrt{(a+b)^2n+3}]$$

А то смотрю, что таких пар не существует, и думаю, чего это лыжи не едут.

[nnosipov]

12d3 в сообщении #1515895 писал(а):

Очепяточка

Надо же, а я не заметил, но истолковал правильно.

Сейчас написал подробное решение. Все довольно прямолинейно, без подвохов. В конце решения вишенка: точный квадрат не может делиться на три и не делиться на девять.

[rightways]

Да там, опечатка. Не заметил. И правку сделать невозможно.

[12d3]

(Максимально неподробное решение)

Пусть $a=2b$
Доказываем неравенства $\sqrt{9b^2n+2} < \sqrt{4b^2n} + \sqrt{b^2n+1} < \sqrt{9b^2n+3}$ обычным методом: возводим в квадрат, приводим подобные, еще раз возводим в квадрат. А поскольку $9b^2n+3$ не является точным квадратом, то $[\sqrt{a^2n}+\sqrt{b^2n+1}]=[\sqrt{(a+b)^2n+3}] = [\sqrt{(a+b)^2n+2}]$

[nnosipov]

12d3
Не совсем понятно, почему между $\sqrt{4b^2n} + \sqrt{b^2n+1}$ и $\sqrt{9b^2n+3}$ нельзя вставить целое число. (Но дописал предложение и уже понял --- из-за левого неравенства.) Тогда это решение попроще будет, чем у меня.

[xagiwo]

(Решение)

Пусть $s = [\sqrt{(a+b)^2n+3}]$, тогда

$$s^2 \leq (a+b)^2n+3 \leq s^2 + 2s$$

Для равенства из условия достаточно и необходимо

$$s^2 \leq (\sqrt{a^2n}+\sqrt{b^2n+1})^2 < (s+1)^2$$

$$s^2 \leq a^2n + b^2n + 1 + 2\sqrt{a^2n}\sqrt{b^2n+1} < (s+1)^2$$

Воспользуемся тем, что

$$b\sqrt{n} + \frac{1}{2b\sqrt{n}} - \frac{1}{8b^3n\sqrt{n}} < \sqrt{b^2n+1} < b\sqrt{n} + \frac{1}{2b\sqrt{n}}$$

, тогда

$$a^2n + b^2n + 2abn + 1 + \frac{a}{b} - \frac{a}{4b^3n} < a^2n + b^2n + 1 + 2\sqrt{a^2n}\sqrt{b^2n+1} < a^2n + b^2n + 2abn + 1 + \frac{a}{b}$$

Остаётся взять $a$ и $b$ такие, что $\frac{a}{b} - \frac{a}{4b^3} \geq 2$ и $\frac{a}{b} \leq 3$ (подойдут все $a$ от $2b+1$ до $3b$), тогда

$$(a+b)^2n + 3 < a^2n + b^2n + 1 + 2\sqrt{a^2n}\sqrt{b^2n+1} < (a+b)^2n + 4$$