порядок перестановок с фиксированным числом циклов

[maxal]

Пусть $g_k(n)$ - это максимальный порядок перестановки $n$-элементного множества, имеющей ровно $k$ циклов.
Понятно, что значение $g_k(n)$ задается формулой:

$$g_k(n) = \max_{m_1+\dots+m_k=n\atop m_1,\dots,m_k\geq 1} \text{НОК}(m_1,\dots,m_k).$$

Докажите, что при каждом фиксированном $k$ функция $g_k(n)$ с некоторого момента строго возрастает, то есть

$$\forall k\in\mathbb{N}\,\exists n_0\in\mathbb{N}\,\forall n\geq n_0\,:\, g_k(n+1)>g_k(n).$$

[Руст]

Обозначим $m_i=m+x_i,m=[n/k]$. Если удастся выбрать $x_i$, так чтобы $|x_i|<a$ и все $m_i=m+x_i$ взаимно просты, то $LCM=\prod_i(m+x_i)=m^k+\sum_{i=1}^km^{k-i}\sigma_i$. Пусть а>0 такое число, что для любого $m=0,1,..,k-1$. Тогда, при $m>k(k-1)a^2$ за счёт $\sigma_1'=\sigma_1+1$ и указанного неравенства, получится $g_k(n+1)>g_k(n)$. Так как $|m_i-m_j|<2a$, для взаимной простоты чисел $m_i$ достаточно проверит, что для каждого простого числа $p<2a$ не более одного из них делится на р. Числа $i<p_s<,...,<p_{s+k-2}$ с любым $i\le k<p_s$ дают решение при m=0. Это позволяет определит $a=k+2klnk$.

[maxal]

В связи с обсуждаемой задачей - предлагаю вычислить новые члены для последовательности A129651 в OEIS.
Другими словами, нужно вычислить минимальное значение $n_0$ как функцию от $k=8,9,10,\dots$.