Кучи камней

[silversurficus]

Имеется $9$ куч камней, во всех кучах - разные количества камней. Известно, что можно взять любую кучу и разложить из нее камни так по оставшимся , чтобы число камней во всех было одинаковым. Более того, можно взять две любые кучи камней и разложить из них камни по оставшимся так, чтобы во всех число камней было одинаково. Сколько минимально камней может быть в самой большой куче.


Рассуждал я следующим образом:
Довольно тривиален тот факт, что минимумом для выполнения только первого условия является последовательность
$36$ $35$ ... $29$ $28$
Потому что $28=1+2+..+7$.
При этом очевидно, что сумма камней в любых двух кучах должна быть кратна семи, чего можно добиться, просто домножив предыдущую последовательность на $7$, и получить
$252$ $245$ ... $203$ $196$
Однако $252$ не является минимумом, мне так сказали. Дальше не знаю, что делать

[Yadryara]

Пробовали решать с меньшим количеством куч? С двумя, с тремя и т. д. ?

[silversurficus]

Ну, моя предпосылка (или что это?):
При этом очевидно, что сумма камней в любых двух кучах должна быть кратна семи, чего можно добиться, просто домножив предыдущую
Оказалось неверна по очевидным причинам.

-- 26.04.2021, 18:12 --

Так, ну, значит, соображения следующие. Сумма всех камней будет кратна 7 и 8 по очевидным причинам.
Допустим, первое число последовательности - x, последнее - (x+8). При этом сумма x+(x+1)+...+(x+8)=8*7*k Наименьшее k - 9.
Тогда x=52, x+8=60
Задача решена.

[DeBill]

silversurficus в сообщении #1515739 писал(а):

Оказалось неверна по очевидным причинам.

Уже лучше...

silversurficus в сообщении #1515739 писал(а):

Допустим, первое число последовательности - x, последнее - (x+8)

Почему - так? (вот только не надо про очевидные причины - это уже было)

silversurficus в сообщении #1515739 писал(а):

Задача решена.

Нет.
Типовой расчет жюри: Если всю задачу оценить в 12 баллов, то пример здесь можно оценить в 4 балла , а оценку (что меньше найденного - не быват) - в 8 баллов.
Пример: правильный, нет проверки, что для него все проходит: всего 4-1=3 балла
Оценка: фактически оценки нет; использованы правильные замечания про делимость на 7 и 8 - по 1 баллу, проведена оценка в предположении что набор - арифметическкая прогрессия - еще 1 балл, итого - 3 балла.
Всего: 6 баллов, что не превышает половины. Вердикт: задача не решена.

[silversurficus]

DeBill в сообщении #1515747 писал(а):

silversurficus в сообщении #1515739 писал(а):

Оказалось неверна по очевидным причинам.

Уже лучше...

silversurficus в сообщении #1515739 писал(а):

Допустим, первое число последовательности - x, последнее - (x+8)

Почему - так? (вот только не надо про очевидные причины - это уже было)

silversurficus в сообщении #1515739 писал(а):

Задача решена.

Нет.
Типовой расчет жюри: Если всю задачу оценить в 12 баллов, то пример здесь можно оценить в 4 балла , а оценку (что меньше найденного - не быват) - в 8 баллов.
Пример: правильный, нет проверки, что для него все проходит: всего 4-1=3 балла
Оценка: фактически оценки нет; использованы правильные замечания про делимость на 7 и 8 - по 1 баллу, проведена оценка в предположении что набор - арифметическкая прогрессия - еще 1 балл, итого - 3 балла.
Всего: 6 баллов, что не превышает половины. Вердикт: задача не решена.

Да, вы правы, буду думать, спасибо за замечания! А мое предположение про первый член равен x, а последний - x+8 и правда ни на чем не основывается.

-- 26.04.2021, 21:28 --

Продолжая мысль о том, что набор, арифметическая прогрессия, предположим, что отличается каждый член не на один, а на два
Тогда
x+(x+2)+...+(x+16)=8*7*k
И тут опять k = 9
При этом x уже будет равен 48
Если будет брать отличие ещё больше, то получаться уже не будет. Ибо если мы возьмём разницу в три. То тогда x будет как максимум 23(точно не больше, возможно, меньше), чего уже недостаточно, чтобы распределить на 8 остальных чисел, с четверкой и пятёркой и далее аналогично. Поэтому вариант единственный. Теперь точно решена

[DeBill]

silversurficus в сообщении #1515748 писал(а):

А мое предположение про первый член равен x, а последний - x+8 и правда ни на чем не основывается.

Претензии по решению были не в том, что "это - арифметическая прогрессия с разностью 1", а в том что "это - арифметическая прогрессия".
И - прошу пардону - я написал эти замечания, исходя из общих соображений, не шибко вникая в задачу. И был неправ

DeBill в сообщении #1515747 писал(а):

Пример: правильный,

: есть примеры поменьше

[silversurficus]

Пример поменьше я уже привел, где это арифметическая прогрессия с разностью в два. С разностью в три уже не подходит, ибо слишком большой разброс между первым и последним членом, если мы предполагаем, что с разностью три в куче будет меньше, чем 48.
Однако проблема в том, что набор может и не являться арифметической прогрессией. Буду думать.

[silversurficus]

Итак. Для прогрессии от 28 до 36, число камней составляет 288 - на 56 не делится, ближайшим подходящим общим числом камней будет 336. Тогда (из соображений для минимума числа камней в самой большой кучке) самой близкой прогрессией с разницей 1 будет от 36 до 44. Но ее сумма - 333, значит нужно распределить 3 камня так, что число камней в каждой кучке было разным и их общее количество было равно 336. Это возможно сделать только добавив камни в самые большие кучки (опять же по одному, чтобы сохранить минимальность камней в самой большой кучке). Но такое распределение не удовлетворяет условию, потому что после первого перекладывания в каждой кучке будет по 336/8=42 камня, в то время, как в самой большой кучке их уже не менее 44. Поэтому всего камней больше 336.
Продолжая логику будем искать следующее число, кратное 56. Это 392. Оно может быть представлено в качестве суммы от 39 до 47 и ещё 5. Тогда в добавляем в последние пять кучек по одному камню, в самой большой - 48, а после распределения в каждой (392/8) 49, что удовлетворяет условию. Проверка тоже показывает, что все работает

[DeBill]

silversurficus
Ну уже все почти сделали...Но почему Вы так упорно цепляетесь за прогрессии?

silversurficus в сообщении #1515791 писал(а):

в каждой кучке будет по 336/8=42 камня

Хорошо.

silversurficus в сообщении #1515791 писал(а):

как в самой большой кучке их уже не менее 44

Ну вот откуда это взялось? Из "это - прогрессия". Но почему - прогрессия?????

[silversurficus]

Это все исходит из того, что для выполнения хотя бы первого условия мы получаем следующее.
Минимальное количество камней в самой маленькой кучке - 28. Получить это можно, предположив, что кучку образуют арифметическую прогрессию с разностью один. Меньше однозначно нельзя. Ибо 28 = 7+6+...+1. По тем же соображениям, минимально возможное в самой большой кучке - 36, меньше нельзя. После перекладывания получится, что во всех кучках по 36(если мы берём один камень).

[DeBill]

silversurficus в сообщении #1515833 писал(а):

Минимальное количество камней в самой маленькой кучке - 28

Да.

silversurficus в сообщении #1515833 писал(а):

По тем же соображениям, минимально возможное в самой большой кучке - 36, меньше нельзя.

Да.
И, значит, суммарно в кучках - не меньше чем $28+...+36=288$. Из делимости на 7 и 8 получим: всего не меньше 326...
И?

[silversurficus]

DeBill в сообщении #1515845 писал(а):

silversurficus в сообщении #1515833 писал(а):

Минимальное количество камней в самой маленькой кучке - 28

Да.

silversurficus в сообщении #1515833 писал(а):

По тем же соображениям, минимально возможное в самой большой кучке - 36, меньше нельзя.

Да.
И, значит, суммарно в кучках - не меньше чем $28+...+36=288$. Из делимости на 7 и 8 получим: всего не меньше 326...
И?

336 - поправка

-- 27.04.2021, 19:45 --

silversurficus в сообщении #1515791 писал(а):

Итак. Для прогрессии от 28 до 36, число камней составляет 288 - на 56 не делится, ближайшим подходящим общим числом камней будет 336. Тогда (из соображений для минимума числа камней в самой большой кучке) самой близкой прогрессией с разницей 1 будет от 36 до 44. Но ее сумма - 333, значит нужно распределить 3 камня так, что число камней в каждой кучке было разным и их общее количество было равно 336. Это возможно сделать только добавив камни в самые большие кучки (опять же по одному, чтобы сохранить минимальность камней в самой большой кучке). Но такое распределение не удовлетворяет условию, потому что после первого перекладывания в каждой кучке будет по 336/8=42 камня, в то время, как в самой большой кучке их уже не менее 44. Поэтому всего камней больше 336.
Продолжая логику будем искать следующее число, кратное 56. Это 392. Оно может быть представлено в качестве суммы от 39 до 47 и ещё 5. Тогда в добавляем в последние пять кучек по одному камню, в самой большой - 48, а после распределения в каждой (392/8) 49, что удовлетворяет условию. Проверка тоже показывает, что все работает

Я не прав, сумма от 36 до 44 не будет равна 333. При этом сумма от 33 до 41 будет равна 333, поэтому 42 - правильный ответ

[DeBill]

silversurficus в сообщении #1515847 писал(а):

336 - поправка

Да.

silversurficus в сообщении #1515847 писал(а):

поэтому 42 - правильный ответ

Да.
Итак, теперь есть правильный пример. И все нужное для оценки.
А чего нет: 1. нет "очищенного решения" - в котором нет ничего лишнего, но есть аккуратное доказательство того, что менее 42 быть не может.
2. Для примера: нет проверки, что любую кучку (и пару кучек) можно переразложить

-- 27.04.2021, 22:21 --

Обратите внимание (к п.1): из минимальности суммарного количества камней, формально, еще не следует минимальность максимальной кучки.