А вот еще задачка...

[Nxx]

$y(x)e^x=y(e^x)$

[Парджеттер]

А если продифференцировать?

[ddn]

Nxx писал(а):

$y(x)e^x=y(e^x)$

Парджеттер писал(а):

:?: А если продифференцировать?

Засем диффцыравать? Нэ ната диффцыравать...

Пусть соотношение $y(x)=y(\ln(x))x$ выполняется на $(x_0,+\infty)$, где $x_0\geqslant 0$.
И пусть $n_*(x)=\max\{k|k\in\mathbb{N}_{-1},\ln^{[k]}(x)>x_0\}$.
Тогда $y(x)=y(\ln^{[n_*(x)+1]}(x))\prod\limits_{k=0}^{n_*(x)}\ln^{[k]}(x)$.
Требуется лишь произвольно задать функцию $y$ на $(-\infty,x_0]$, где имеет место $n_*(x)=-1$ и формула обращается в тождество $y(x)=y(x)$, тогда функция станет определена на всем $\mathbb{R}$ посредством указанной формулы.
В лучшем случае, из-за непостоянства $n_*(x)$, функция получится кусочно аналитической, с точками неаналитичности $x_i|_{i\in\mathbb{N}_0}$, где $x_{n+1}=e^{x_n}$.
Насчет того, чтобы так подобрать функцию $y$ на $(-\infty,x_0]$, чтобы сделать ее аналитической на всем $\mathbb{R}$ - это открытая проблема.

Добавлено спустя 5 минут 13 секунд:

для тех, кто не уловил:
$\ln^{[-1]}(x)=e^x$, где $x\in(-\infty,+\infty)$;
$\ln^{[0]}(x)=x$, где$x\in(-\infty,+\infty)$;
$\ln^{[1]}(x)=\ln(x)$, где $x\in(0,+\infty)$;
$\ln^{[2]}(x)=\ln(\ln(x))$, где $x\in(1,+\infty)$;
$\ln^{[3]}(x)=\ln(\ln(\ln(x)))$, где $x\in(e,+\infty)$;
...

[mserg]

Да чтоб у моего соседа собака сдохла, если не [y(x) тождественно равно нулю]! Но никто за вас моего доказательства этого факта здесь приводить не собирается!

[Утундрий]

С первого взгляда, вообще-то, получается произвольная функция на интервале [0, 1), коя посредством означенной дефиниции распространяется на всю оставшуюся R.