Искривление света и принцип эквивалентности

[Ikari]

Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции говорит что в гравитационном поле все происходит также как в ускоренной системе отсчета. То есть, на Земле все должно происходить также, как в ракете движущейся с ускорением в одно же. Начав с нулевой скорости, за секунду такая ракета должна пройти примерно пять метров. Допустим, на высоте в эти пять метров я ставлю лазер и свечу им параллельно полу. Правильно ли я понимаю что изначально шедший параллельно полу луч, упрется в пол на расстоянии в одну световую секунду? Или свет отклоняется гравитационным полем как-то более сложно?

[sergey zhukov]

Ikari
Так у вас получится, что для наблюдателя в ракете свет движется по параболе с переменной скоростью, как обычный камень в механике Ньютона. Не годится.

Представьте себе, как вы наблюдаете ускорение этой ракеты со стороны. Ее скорость начинает расти, ее длина - сокращаться (поэтому пол движется с бОльшим ускорением, чем нос), а часы на полу замедляются сильнее, чем на носу (опять же потому, что пол движется с более высокой скоростью, чем нос). Свет пронизивает все это по прямой линии. Можно подсчитать, через какие точки ракеты и в какой момент по местным часам ракеты он пройдет.

Свет упрется в пол ближе, чем через одну световую секунду, т.е. он отклоняется сильнее, чем это следует из параболической траектории.

[Ikari]

sergey zhukov в сообщении #1515575 писал(а):

Ikari
Так у вас получится, что для наблюдателя в ракете свет движется по параболе с переменной скоростью, как обычный камень в механике Ньютона. Не годится.

В евклидовой геометрии - да. В искривленном пространстве вполне может быть что эта парабола составляет ту же самую световую секунду.

sergey zhukov в сообщении #1515575 писал(а):

Ikari
Представьте себе, как вы наблюдаете ускорение этой ракеты со стороны. Ее скорость начинает расти, ее длина - сокращаться (поэтому пол движется с бОльшим ускорением, чем нос), а часы на полу замедляются сильнее, чем на носу (опять же потому, что пол движется с более высокой скоростью, чем нос). Свет пронизивает все это по прямой линии. Можно подсчитать, через какие точки ракеты и в какой момент по местным часам ракеты он пройдет.

Так длина только в направлении движения сокращается. А пол этому направлению перпендикулярен и сокращаться не будет. Расстояние между полом и лазером да, сократится. Но так к тому времени фотон уже вылетел, ему дальнейшие сокращения лазера безразличны.

Ракета стартует с Байконура вертикально вверх. В этот же момент из лазера вылетает фотон. И так как ракета еще не набрала скорость, то фотон летит строго горизонтально относительно Байконура. А дальнейшее ускорение ракеты ему абсолютно безразлично. Когда пол ракеты совпадет с горизонталью движения фотона, тогда луч лазера в пол и упрется. И тут получается что встретятся пол и горизонталь через секунду, а значит и фотон успеет улететь на одну световую секунду.

Если задуматься, тут другая подлянка возникает - для внешнего наблюдателя ускорение ракеты будет постепенно падать, так как растет ее масса. И получается что фотон наоборот, пролетит немножко больше световой секунды.

[iifat]

Не особо разбираясь в вопросе, рискну таки напомнить, что скорость света превышает не только первую космическую, но также и вторую с третьей. Какая, нафиг, парабола?

[Geen]

Ikari в сообщении #1515572 писал(а):

расстоянии в одну световую секунду?

А это сколько в радиусах Земли?

[epros]

Ikari в сообщении #1515572 писал(а):

Правильно ли я понимаю что изначально шедший параллельно полу луч, упрется в пол на расстоянии в одну световую секунду?

В целом правильно, хотя ширина ракеты в одну световую секунду слегка ошарашивает.

Те эффекты, о которых пишет sergey zhukov, Вы на таких малых масштабах не заметите.

Ikari в сообщении #1515572 писал(а):

Или свет отклоняется гравитационным полем как-то более сложно?

Если говорить об отклонении света почти сферическими массивными объектами типа Земли или Солнца, то - более сложно. Потому что в таком случае будет иметь значение не только ускорение свободного падения, но и искривление пространственного трёхмерия. Но в случае ускоряющейся ракеты такого эффекта не будет, так что картина со свободно падающим световым импульсом в целом верная.

[sergey zhukov]

Ikari
Что-то я наврал вам. Вы все правильно сказали в первом сообщении. Я не совсем правильно понимал те самые эффекты, про которые epros сказал, что они малы. Но все равно интересно их разобрать.

Наблюдатель находится на полу квадратной ракеты, которая ускоряется от нуля с постоянным собственным ускорением. Т.е. акселерометр наблюдателя (скажем, грузик на пружине) постоянно показывает одно и то же ускорение. Внешний наблюдатель будет видеть, что пол такой ракеты движется по гиперболе, а потолок - тоже по гиперболе, но более пологой. Т.е. скорость пола постоянно выше скорости потолка (продольный размер ракеты, соответственно, сжимается).

В начале движения наблюдатель измерил ускорение ракеты и рассчитал параболу, по которой луч света должен "падать" на пол, будучи выпущенным параллельно потолку (это должна быть парабола, разумеется, если пользоваться правилом сложения скоростей классической механики). Он вычислил точку "падения" луча на пол и луч упал именно туда. А как насчет остальной траектории луча? Совпадает ли она с параболой?

Допустим, что луч света прочерчивает на стенке ракеты свою траекторию, когда "падает" внутри нее, так что позже эту траекторию можно изучить.

Допустим теперь, что ракета перестала ускоряться и летит с постоянной скоростью. Наблюдатель внутри ракеты изучает кривую падения света на стенке и видит, что это не парабола, а сегмент круга.

Может показаться, что тут какое-то противоречие. Если наблюдатель правильно вычислил точку падения луча на пол, то он должен был правильно вычислить ее, находясь на любой другой высоте в ракете, т.е. траектория света всюду должна совпасть с параболой. Допустим, ракета многоэтажная и на каждом этаже есть свой наблюдатель, который вычисляет, куда попадет падающий луч света на полу его этажа (луч света пронизывает все этажи). Все они должны правильно вычислить точки падения луча на свой пол исходя из того, что траектория луча - это парабола. Значит, свет все же движется по параболе?

Разгадка этого противоречия в том, что ускорение на всех этажа такой ракеты будет разным, так что разные наблюдатели приписывают этому лучу разные параболы, концы которых ложатся на круг.

[sergey zhukov]

Подсчитал еще раз повнимательнее, и вот что получается.

Траектория, которую фотон прочерчивает на стенке ракеты высотой $z$ (высота покоя ракеты), согласно СТО будет

$$y=\sqrt{(z+\frac{c^2}{a})^2-x^2}-\frac{c^2}{a}$$

, где $a$ - постоянное ускорение ракеты, которое зафиксирует внутренний наблюдатель, стоя на полу ракеты, $y$ - вертикальная ось, $x$ - горизонтальная.

Внутренний наблюдатель может подсчитать ту же кривую фотона на стенке ракеты, считая, что фотон падает c высоты $z$ в поле с ускорением $a$, имея начальную скорость $c$, параллельную $x$. Он получит, что

$$y=z-\frac{a}{2c^2}x^2$$

Т.е. согласно СТО это будет эллипс, а согласно Ньютону - парабола. Причем согласно СТО свет летит дальше, чем по Ньютону (а не наоборот, как я думал раньше). Если $\frac{a}{c^2}$ мало, то кривые отличаются слабо:

При стремлении ускорения к бесконечности Ньютоновская траектория приближается к вертикальной прямой, а траектория СТО - к окружности.