Элементарно-геометрический способ найти координаты поворота

[vzdymshik_picca]

Сейчас рандомным образом задумался о небольшой мелочи, которая поставила меня в тупик. Есть множество способов вывести формулу координаты точки $(a;b)$ после поворота вокруг начала координат на угол $\alpha$. Через комплексные числа, вектора и полярные координаты (что, по сути, одно и то же), либо через разложение на базисные вектора (идея из этого способа также наглядно демонстрирует линейность поворота). Второй способ допускает чисто детскую интерпретацию, позволяющую из рассмотрения соответствующих параллелограммов получить искомую формулу. Можно также рассмотреть угол радиус-вектора $\varphi$, вывести формулы для поворота на $\pi/2, \varphi\circ\alpha, (\pi/2-\varphi)\circ\alpha$, и используя композиции соответствующих поворотов, а также тот факт, что они коммутируют, снова получить формулу (этот способ по идее такой же, как разложение на базисные вектора). Вопрос в том, можно ли как-то увидеть в лоб увидеть формулу, возможно, сделав ряд дополнительных построений, но не используя векторные соображения? Важно: Если вы используете угол $\varphi$, а затем применяете формулу синуса/косинуса суммы, то это не считается за элементарно-геометрическое решение. Нужно что-то наподобие рассмотрения параллелограммов, но с другой идеей. Собственные попытки решения: решение через композицию, которое хоть и элементарно, но всё равно не удовлетворяет требованию.

[demolishka]

Ничего элементарнее наглядной линейности + разложения по базисным векторам не бывает.

vzdymshik_picca в сообщении #1515573 писал(а):

не используя векторные соображения

Вывести формулу поворота вектора на угол, не используя векторы... Спасибо хоть формулы не запрещаете использовать.

[TOTAL]

vzdymshik_picca в сообщении #1515573 писал(а):

Вопрос в том, можно ли как-то увидеть в лоб увидеть формулу, возможно, сделав ряд дополнительных построений, но не используя векторные соображения?

Запишите здесь формулу, которую требуется увидеть в лоб.

[vzdymshik_picca]

TOTAL в сообщении #1515598 писал(а):

Запишите здесь формулу, которую требуется увидеть в лоб.

$f_\alpha(a;b)=(a\cos\alpha-b\sin\alpha, a\sin\alpha+b\cos\alpha)$

demolishka в сообщении #1515585 писал(а):

Вывести формулу поворота вектора на угол, не используя векторы... Спасибо хоть формулы не запрещаете использовать.

Как я писал, разложение на базисные вектора допускает такую интерпретацию. Просто мне показалось, что все вещи, которые я перечислил, все равно "слишком хитрые" для такого элементарного и фундаментального факта, поэтому и появилось желание увидеть его, опираясь на какие-нибудь геометрические построения.

[arseniiv]

Я бы не сказал, что слишком хитрые. Поворот только кажется фундаментальным, он просто очень нам привычен. Если начать всё формально выводить, выйдет не так уж мало писанины. Начиная с того, что такое поворот на угол.

[DeBill]

vzdymshik_picca в сообщении #1515573 писал(а):

Если вы используете угол $\varphi$, а затем применяете формулу синуса/косинуса суммы, то это не считается за элементарно-геометрическое решение

А если Вы посмотрите на свои формулы поворота, то прям и увидите эти самые формулы...
Т.о., Ваш вопрос; можно ли вывести формулы синуса-косинуса суммы э.-г. методами?
Ну, вроде в школе выводят, да?

[vzdymshik_picca]

DeBill в сообщении #1515640 писал(а):

А если Вы посмотрите на свои формулы поворота, то прям и увидите эти самые формулы...

Да, они таким образом оттуда следуют, но использование в обратную сторону отметаем.

DeBill в сообщении #1515640 писал(а):

Ваш вопрос; можно ли вывести формулы синуса-косинуса суммы э.-г. методами?

Да.

DeBill в сообщении #1515640 писал(а):

Ну, вроде в школе выводят, да?

Через разложение на базисные вектора.

[vzdymshik_picca]

Формулы разности можно также получить из рассмотрения площадей треугольников. Соответственно, есть догадка, что, рассматривая площади фигур в некоторой конструкции, мы и получим чисто геометрическое доказательство. Вероятно, его даже можно будет конвертировать в доказательство без площадей. А так как совсем красивого способа "увидеть в лоб", видимо, нет, то эта догадка удовлетворяет моё любопытство.

[TOTAL]

vzdymshik_picca в сообщении #1515636 писал(а):

поэтому и появилось желание увидеть его, опираясь на какие-нибудь геометрические построения.

Прямоугольный треугольник с катетами (равными координатам вектора) поверните вокруг острого угла (вершина в начале координат). Т.е. все формулы получаются как проекции катетов повернутого треугольника.

[vzdymshik_picca]

TOTAL в сообщении #1515682 писал(а):

Прямоугольный треугольник с катетами (равными координатам вектора) поверните вокруг острого угла (вершина в начале координат). Т.е. все формулы получаются как проекции катетов повернутого треугольника.

Это снова "использование базиса", но, пожалуй, так очевиднее всего. Более наглядно, чем рассмотрение параллелограмма.

[vzdymshik_picca]

TOTAL в сообщении #1515682 писал(а):

поверните вокруг острого угла

Кстати, в этом случае "инвариантность относительно квадрантов" придётся выводить отдельно. То есть из того, что мы проверили для $\pi/2$ и для острых мгновенно не следует всего остального, даже линейности в других областях. Нужно проверить тривиальное тождество $f_{\alpha}(-b,a)=f_{\alpha+\pi/2}(a,b)$, где $f_{\alpha}$ - это формула поворота для острых (и пока это не проверено, мы не можем отождествлять формулу и поворот вне первого квадранта). Казалось бы, ну и что такого? Однако в этом случае тот факт, что тождество будет верно, следует из формул приведения (то есть свойств синуса и косинуса) и больше походит на "удачное совпадение", чем на естественную вещь. Чуть подробнее: посмотрим на проекции базисных векторов (катетов) на ось абсцисс, в 1-ом квадранте мы вычитаем один из другого, во 2-ом их уже нужно складывать. Формула удачно подстраивается под эту ситуацию, но в рамках этого доказательства неочевидно, почему она обязана это сделать. То есть необходимость дополнительно использовать свойства синуса и косинуса частично рушит искомую наглядность.

[Pphantom]

2T6Y забанен как злостный клон, сообщения удалены.