Поля.

[jek239]

Помогите, пожалуйста:
$F - поле. Доказать, что если $F^* циклична, то F является конечным?

[Joker_vD]

Тривиально настолько, что... какие циклические группы вы знаете?

[jek239]

Целые числа, например.

-- 09.05.2012, 20:33 --

Может использовать, что любая циклическая группа счетна...

[Joker_vD]

Вот. Если $F^*\cong\mathbb Z_n$, то $F^*$ — конечно, и $F=F^*\cup\{0\}$ тоже конечно. А вот случай $F^*\cong\mathbb Z$ разбирать надо, но там тоже все очень просто...

Ладно, даю следующую подсказку: пусть наше поле $F$ такое хитрое, что $F^*\cong \mathbb Z$. У $F$ характеристика либо ноль, либо не ноль. Если $\operatorname{char}F=0$, то что вы можете сказать о подполях $F$?

[Joker_vD]

Ну куда еще уж подсказывать-то... У всякого поля $F$ есть простое подполе $k$ (это либо $\mathbb Q$, либо $\mathbb Z_n$), причем очевидно, что $k^*$ — подгруппа $F^*$. Есть ли у $\mathbb Z$ подгруппы, изоморфные $\mathbb Q^*$ или $\mathbb Z_n^*$?

[Nikita.N.M]

Какие есть примеры бесконечных полей положительной (ненулевой) характеристики? Перелопатил весь интернет, но нигде материала по этому поводу нет

[Pphantom]

Nikita.N.M, предупреждение за оффтопик (поскольку уже второй случай). Прочитайте внимательно выдержку из правил форума в желтом поле вверху темы, особенно ее второй абзац.