Теплота сгорания топлива

[Gepidium]

Здравствуйте. Опять возникла у меня трудность в одном вопросе из того же вопросника :

Gepidium в сообщении #1512882 писал(а):

Дали мне вопросник по физике (между прочим, 560 вопросов). Вопросы, в основном, качественные, на понимание.

А вопрос такой:

Цитата:

Why should rocket fuel have the highest possible heat of combustion?

Ну понятно, что при большей удельной теплоте сгорания можно уменьшить массу топлива согласно формуле $q=\frac {Q}{m}$, а значит можно увеличить массу полезной нагрузки, и тем самым увеличить эффективность ракеты.
Я так и написала, но преподаватель мне этот вопрос не зачла. Сказала, что это надо доказать, а у меня всё это голословно.
Не понимаю, что тут ещё доказывать. Всё ведь понятно даже чисто интуитивно.
Подскажите, как тут можно доказать.

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1514181 писал(а):

можно увеличить массу полезной нагрузки, и тем самым увеличить эффективность ракеты

Вообще-то важнейшим показателем эффективности ракеты является скорость истечения газа из двигателя. Свяжите эту скорость с температурой газа. А потом взгляните на формулу Циолковского, из которой прямо вытекает то доказательство, которое, очевидно, и требует Ваш преподаватель.

[Gepidium]

Gagarin1968 в сообщении #1514186 писал(а):

Свяжите эту скорость с температурой газа.

Gagarin1968
Чем выше температура газа, тем больше скорость теплового движения его молекул. Получается, что это и есть скорость истечения газа из двигателя ракеты $V_f$

Gagarin1968 в сообщении #1514186 писал(а):

взгляните на формулу Циолковского

По этой формуле импульс, переданный вытекающими газами ракете пропорционален произведению $V_f$ на логарифм массы топлива.
Если $M$ - масса ракеты (без топлива), а $M_f$ - масса топлива, то скорость ракеты по формуле Циолковского равна $V=V_f \ln \frac {M+M_f}{M}$
И что дальше? Не вьезжаю.

[Emergency]

Gepidium в сообщении #1514181 писал(а):

Ну понятно, что при большей удельной теплоте сгорания можно уменьшить массу топлива согласно формуле $q=\frac {Q}{m}$, а значит можно увеличить массу полезной нагрузки

Давайте сравним водородное топливо с энтальпией воды 15,88 кДж/г и бериллиевое с энтальпией его оксида 23,56 кДж/г.
Вроде бы бериллиевое однозначно лучше. Но температура кипения оксида бериллия 4120 градусов... Правда надо еще знать зависимость давления пара от температуры, теплоту парообразования и т.п., чтобы попытаться найти скорость истечения.

[GraNiNi]

Emergency в сообщении #1514196 писал(а):

бериллиевое

Да, были проекты использовать в качестве горючего гидрид бериллия, но из-за сложности получения, его стоимость была чрезмерно высокой, да и перспектива все загадить токсичными продуктами сгорания никого не радовала.

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1514194 писал(а):

масса ракеты (без топлива)

В ракетной технике и космонавтике это называется сухой массой ракеты.

Gepidium в сообщении #1514194 писал(а):

скорость ракеты по формуле Циолковского равна $V=V_f \ln \frac {M+M_f}{M}$
И что дальше?

Так всё! Вы уже практически всё расписали. Только осталось сделать маленький шажок.
Я думаю, модераторы не обидятся на меня за этот шажок, тем более, что он о-о-очень маленький.
В приведённой формуле надо учесть, что обычно $M_f \gg M$, и тогда $\displaystyle V\approx V_f \ln \frac {M_f}{M}$
Отсюда очень хорошо видно, что если температура сгорания топлива повышается вдвое, то скорость истечения возрастает в $1,4$ раза, а стало быть, масса топлива может быть уменьшена в $e^{1,4}\approx 4$ раза.
Я думаю, что это будет "железное" доказательство.

[Gepidium]

Gagarin1968 в сообщении #1514199 писал(а):

надо учесть, что обычно $M_f \gg M$

Не знала этого.
Спасибо, Gagarin1968. Всё поняла.

[DimaM]

Gagarin1968 в сообщении #1514199 писал(а):

Отсюда очень хорошо видно, что если температура сгорания топлива повышается вдвое, то скорость истечения возрастает в $1{,}4$ раза

Отсюда это не видно. Это получается из формулы для скорости истечения в вакуум

$$V_f=\sqrt{\frac{2\gamma}{\gamma-1}\frac{RT}{\mu}}$$

при неизменности показателя адиабаты и молярной массы.

Gagarin1968 в сообщении #1514199 писал(а):

а стало быть, масса топлива может быть уменьшена в $e^{1,4}\approx 4$ раза

А это попросту неверно. Зависит от начального отношения $V/V_f$. Если, скажем, оно было равно 3, то при увеличении $V_f$ в 1.4 раза отношение масс уменьшится в 2.3 раза; а если оно было 60, то отношение масс уменьшится в 572 раза.

[Theoristos]

DimaM в сообщении #1514218 писал(а):

Отсюда это не видно. Это получается из формулы для скорости истечения в вакуум

А закона сохранения энергии тут будет не достаточно?

Gagarin1968 в сообщении #1514199 писал(а):

В ракетной технике и космонавтике это называется сухой массой ракеты.

Строго говоря это не совсем так. Но разница (за одним исключением) невелика.

[DimaM]

Theoristos в сообщении #1514773 писал(а):

А закона сохранения энергии тут будет не достаточно?

Наверно, достаточно.

[Emergency]

Theoristos в сообщении #1514773 писал(а):

А закона сохранения энергии тут будет не достаточно?

Одного только ЗСЭ - недостаточно. Еще требуется термодинамика для учета фазовых переходов, ионизации, излучения и т.п.

[DimaM]

Emergency в сообщении #1515019 писал(а):

Еще требуется термодинамика для учета фазовых переходов, ионизации, излучения и т.п.

Сомневаюсь, что излучение сколь-нибудь существенно влияет на скорость истечения.
Фазовые переходы (если не жечь бериллий) тоже заметной роли не играют.

[Emergency]

DimaM в сообщении #1515021 писал(а):

Сомневаюсь, что излучение сколь-нибудь существенно влияет на скорость истечения.
Фазовые переходы (если не жечь бериллий) тоже заметной роли не играют.

Конечно, если брать готовый ракетный двигатель, который уже оптимизирован и вылизан, то можно вообще ничего не учитывать - заправляй паспортным топливом и используй паспортные режимы, тогда и тяга будет паспортной. :)

[DimaM]

Emergency в сообщении #1515025 писал(а):

Конечно, если брать готовый ракетный двигатель, который уже оптимизирован и вылизан, то можно вообще ничего не учитывать - заправляй паспортным топливом и используй паспортные режимы, тогда и тяга будет паспортной. :)

Так из химии уже выжали практически все, что можно было выжать. В запасе разве что экзотика со фтором в качестве окислителя, но это совсем страшно.

[Emergency]

DimaM в сообщении #1515027 писал(а):

Так из химии уже выжали практически все, что можно было выжать.

Есть еще нестабильные штуки вроде атомарного водорода или озона и теоретический металлический водород, который может оказаться сверхпроводником, что тоже добавляет энергетические возможности. Ну и какие-нибудь супероксиды. Но это пока на уровне фантазий.