Координаты концов отрезка

[novichok2021]

Добрый день. Прошу помощи или совета. Задача такая. (Интересует аналитический метод решения.) На координатной плоскости имеется отрезок $DE$, заданной длины (например $40$ мм), также на этой плоскости имеются две пересекающиеся прямые, отрезок $DE$ ($40$мм), т.е. его концы соединяют эти две прямые, к одной из прямой он перпендикулярен,
вопрос в следуещем каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?
Вот некоторые дополнительные данные: уравнение наклонной прямой $y=0.67x+20$ и $y=-40$ это уравнение прямой параллельной оси абсцис но ниже на $40$мм




1. Кажется нужно провести пямую параллельную наклонной прямой на расстоянии 40мм., оно будет иметь следующий вид $y=-0.667x-28.074$
2. Затем решить систему из двух уравнений (уравнение $y=-40$ и $y=-0.667x-28.074$, найденное решение будет одним из концов искомого отрезка (17.889;-40)
3. Ну а затем подставить в известную формулу, известные данные и найти неизвестные $40=\sqrt{(17.889-x_1)^2+(-40-y_1)^2}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- многочисленные картинки в данном случае только мешают, сформулируйте задачу в виде текста, набрав в том числе и формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), а заодно разобравшись с единицами измерения длин и координат;
- при формулировке учтите, что описание второй прямой "потерялось", из контекста можно предположить, что это ось абсцисс, но не более;
- предложите собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 18.04.2021, 15:15 --

Ну и первое же замечание - у "параллельных" прямых разные коэффициенты углового наклона. Такое бывает?

[novichok2021]

Пропустил одну цифру в формуле $y=-0.667x-28.074$ и $y=-0.667x+20$ вот так правильнее.

[arseniiv]

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):

1. Кажется нужно провести пямую параллельную наклонной прямой на расстоянии 40мм., оно будет иметь следующий вид $y=-0.667x-28.074$

Есть две такие прямые по обе стороны, и это согласуется с тем, что решений тоже два. Второй отрезок на картинке не поместится, он справа и ниже.

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):

3. Ну а затем подставить в известную формулу, известные данные и найти неизвестные $40=\sqrt{(17.889-x_1)^2+(-40-y_1)^2}$

Так вы получите целую окружность точек на расстоянии 40 от известной.

Найдите вектор, ортогональный первой прямой и имеющий длину как у отрезка (есть два решения, отличающиеся знаком). Получаете прямую в 1 сдвигом исходной на этот вектор, решаете систему из 2, а потом чтобы получить вторую точку отрезка, из найденной точки вычитаете вектор. Один вектор даст один возможный отрезок, другой — второй возможный.

Вектор найти просто, раз у вас прямая задана уравнением $y = a x + b$ — один из её направляющих векторов будет $(1, a)$, его поворот на прямой угол будет $(-a, 1)$, и интересующий вектор будет каким-то кратным ему, $s (-a, 1) = (-s a, s)$, с условием, что $s^2 ((-a)^2 + 1^2) = L^2$, где $L$ — длина отрезка, откуда находится $s$. Вообще лучше было прямую задавать уравнением вида $a' x + b' y = c'$ — во-первых так вертикальную можно задать, во-вторых это скалярное произведение $(a', b') \cdot (x, y) = c'$, и если $(a', b')$ имеет длину 1, мы получим легко и нужный вектор (умножением на $\pm L$), и уравнения сдвинутых на него прямых, просто беря $c' \pm L$.

Вообще тут можно делать кучу разного, просто записать всё интересующее векторными формулами и потом получать разные способы решения.

[novichok2021]

Спасибо, теперь в свободное время займусь осмыслением вашего предложения

[kmpl]

Можно еще вот как. Та точка внизу справа имеет координаты $(90 ; -40)$. Замечаем 2 подобных треугольника с коэффициентом подобия $\frac{2}{3}$. В большом треугольнике знаем 2 катета, находим гипотенузу (если хотите потренировать аналитический метод, то можно и по формуле длины отрезка). Далее можно найти все стороны в маленьком треугольнике. Потом точка E находится сразу. Точку $D$ можно найти несколькими способами. Если Вам нужно побольше формул, можете написать уравнение прямой $DE$. Ее угловой коэффициент находится сразу, а зная точку $E$, находим второе неизвестное. Точка $D$ будет точкой пересечения наклонной прямой и прямой $DE$.

[Someone]

novichok2021 в сообщении #1514918 писал(а):

Пропустил одну цифру в формуле $y=-0.667x-28.074$ и $y=-0.667x+20$ вот так правильнее.

Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. Категорически не рекомендую в учебных задачах по аналитической геометрии заменять точные числа их приближениями. Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.

[StepV]

Someone в сообщении #1515059 писал(а):

Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. ....
Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):

каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?

Совершенно согласен с Someone, потому что я результат посчитал с точностью до тысячных $D=(39,966;-6,78)$ и $E=(17,689;-40)$. При этом, если проверить по теореме Пифагора результат для $DE$, то получается $DE=40,01$, т.е сходится с точностью до одной сотой.

[arseniiv]

Ну и вообще решить задачу для достаточно простого общего случая, заменив все конкретные числа какими-то неизвестными константами, обычно легче, меньше мельтешения цифр перед глазами. Да и для оптимизации вычислений потом тоже конкретные цифры не особо помогают.

[novichok2021]

arseniiv в сообщении #1515087 писал(а):

Ну и вообще решить задачу для достаточно простого общего случая, заменив все конкретные числа какими-то неизвестными константами, обычно легче, меньше мельтешения цифр перед глазами. Да и для оптимизации вычислений потом тоже конкретные цифры не особо помогают.

Спасибо за помощь. Здоровья вам крепкого.

-- 04.05.2021, 23:55 --

arseniiv в сообщении #1514928 писал(а):

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):

1. Кажется нужно провести пямую параллельную наклонной прямой на расстоянии 40мм., оно будет иметь следующий вид $y=-0.667x-28.074$

Есть две такие прямые по обе стороны, и это согласуется с тем, что решений тоже два. Второй отрезок на картинке не поместится, он справа и ниже.

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):

3. Ну а затем подставить в известную формулу, известные данные и найти неизвестные $40=\sqrt{(17.889-x_1)^2+(-40-y_1)^2}$

Так вы получите целую окружность точек на расстоянии 40 от известной.

Найдите вектор, ортогональный первой прямой и имеющий длину как у отрезка (есть два решения, отличающиеся знаком). Получаете прямую в 1 сдвигом исходной на этот вектор, решаете систему из 2, а потом чтобы получить вторую точку отрезка, из найденной точки вычитаете вектор. Один вектор даст один возможный отрезок, другой — второй возможный.

Вектор найти просто, раз у вас прямая задана уравнением $y = a x + b$ — один из её направляющих векторов будет $(1, a)$, его поворот на прямой угол будет $(-a, 1)$, и интересующий вектор будет каким-то кратным ему, $s (-a, 1) = (-s a, s)$, с условием, что $s^2 ((-a)^2 + 1^2) = L^2$, где $L$ — длина отрезка, откуда находится $s$. Вообще лучше было прямую задавать уравнением вида $a' x + b' y = c'$ — во-первых так вертикальную можно задать, во-вторых это скалярное произведение $(a', b') \cdot (x, y) = c'$, и если $(a', b')$ имеет длину 1, мы получим легко и нужный вектор (умножением на $\pm L$), и уравнения сдвинутых на него прямых, просто беря $c' \pm L$.

Вообще тут можно делать кучу разного, просто записать всё интересующее векторными формулами и потом получать разные способы решения.

Благодарю вас.

-- 04.05.2021, 23:57 --

StepV в сообщении #1515069 писал(а):

Someone в сообщении #1515059 писал(а):

Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. ....
Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):

каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?

Совершенно согласен с Someone, потому что я результат посчитал с точностью до тысячных $D=(39,966;-6,78)$ и $E=(17,689;-40)$. При этом, если проверить по теореме Пифагора результат для $DE$, то получается $DE=40,01$, т.е сходится с точностью до одной сотой.

Спасибо за участие. Удачи вам.

-- 04.05.2021, 23:57 --

StepV в сообщении #1515069 писал(а):

Someone в сообщении #1515059 писал(а):

Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. ....
Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):

каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?

Совершенно согласен с Someone, потому что я результат посчитал с точностью до тысячных $D=(39,966;-6,78)$ и $E=(17,689;-40)$. При этом, если проверить по теореме Пифагора результат для $DE$, то получается $DE=40,01$, т.е сходится с точностью до одной сотой.

Спасибо за участие. Удачи вам.

-- 04.05.2021, 23:59 --

kmpl в сообщении #1514941 писал(а):

Можно еще вот как. Та точка внизу справа имеет координаты $(90 ; -40)$. Замечаем 2 подобных треугольника с коэффициентом подобия $\frac{2}{3}$. В большом треугольнике знаем 2 катета, находим гипотенузу (если хотите потренировать аналитический метод, то можно и по формуле длины отрезка). Далее можно найти все стороны в маленьком треугольнике. Потом точка E находится сразу. Точку $D$ можно найти несколькими способами. Если Вам нужно побольше формул, можете написать уравнение прямой $DE$. Ее угловой коэффициент находится сразу, а зная точку $E$, находим второе неизвестное. Точка $D$ будет точкой пересечения наклонной прямой и прямой $DE$.

Благодарю вас. Пригодилось.