точный куб

[nnosipov]

Более конкретно: верно ли, что если

$$(xz+1)(yz+1)=az^5+1,$$

при этом $z \geqslant (a+1)^4$, то $a$ является точной 5-й степенью?

Upd. Неверно: $x=11$, $y=12405739$, $z=357$ и $a=3$.

Upd2. Условие $z \geqslant (a+1)^5$ также не является достаточным: $x=7$, $y=31588313$, $z=480$ и $a=2$.

[maxal]

nnosipov, что же такого особенного в 3-й степени?

[nnosipov]

maxal
Возможно, просто маленькая степень. В обоих случаях все решения в целых числах легко параметризуются, но для 5-й степени формулы более громоздкие, чем для 3-й, а именно:

$$y=z^3x^4-z^2x^3+zx^2-x+wz^4, \quad a=x^5+w(xz+1).$$

Искать в этой куче натуральные решения и выяснять, при каком условии на них у нас будет гарантировано равенство $w=0$, уже становится технически сложной задачей (быстро одолеть ее не вышло).

Впрочем, в моих контпримерах $a$ очень мало, поэтому не исключено, что сгодится что-нибудь типа $z \geqslant (a+100)^4$.

[Батороев]

maxal в сообщении #1514675 писал(а):

что же такого особенного в 3-й степени?

$z^3$ равен разности сумм чисел, заключенных в квадратах $z\cdot z$ и $(z-1)\cdot (z-1)$ в таблице Пифагора. Это так - наблюдение.