Стрелка компаса в сильном электрическом поле

[Ignatovich]

fred1996
Предполагается $r<<a,b$.
Но ответ у меня другой.

[EUgeneUS]

Ignatovich

Если ответ уважаемого fred1996 привести к симметричному относительно перестановки $a\leftrightarrow b$ виду, считая, что в знаменателе опечатка ($(b-a)$ вместо $(b-r)$),
тогда, полагая $a, b \gg r$, получается: $M = \pi\varepsilon_0E^2\sin(2\alpha)r (a^2-b^2)$

что уже проходит проверку на граничные случаи.

[Ignatovich]

EUgeneUS в сообщении #1514682 писал(а):

Если ответ уважаемого fred1996 привести к симметричному относительно перестановки $a\leftrightarrow b$ виду, считая, что в знаменателе опечатка ($(b-a)$ вместо $(b-r)$),
тогда, полагая $a, b \gg r$, получается: $M = \pi\varepsilon_0E^2\sin(2\alpha)r (a^2-b^2)$

что уже проходит проверку на граничные случаи.

Я получил в 4 раза больший момент, но мог и ошибиться.

[EUgeneUS]

Ignatovich
Решил Вашу задачу. Пришлось сделать парочку вроде бы логичных, но не доказанных (у меня) предположений.
Получилось так:

EUgeneUS в сообщении #1514682 писал(а):

получается: $M = \pi\varepsilon_0E^2\sin(2\alpha)r (a^2-b^2)$

Предположительно, четвёрка у Вас могла потеряться, если за $a$ и $b$ принять половину диагонали, а не целую.

Задача у Вас получилась интересная. По сравнению с рассмотрением одной гантельки интересный результат: у квадрата момент ноль.

[fred1996]

(пересчитал)

В компактном виде у меня такой ответ:
$M=\pi\varepsilon_0E^2r\sin(2\alpha)(\frac{a^3}{a-r}-\frac{b^3}{b-r})$

-- 17.04.2021, 06:17 --

EUgeneUS
Такой же как у вас при $r<<a,b$

Видно, что диагонали фактически не влияют друг на друга, и, соответственно индуцированные на них заряды. Кстати, не влияют совсем. Даже если учитывать перераспределение зарядов на шариках. Симметрия полностью компенсирует это влияние. (Как мне кажется)

Кстати, а что у нас выйдет с равносторонним треугольником?

[AnatolyBa]

У меня по грубым прикидкам, практически из соображений размерности, получилось, что электрические силы (моменты) начнут хоть как-то конкурировать с магнитными где-то начиная со ста киловольт на сантиметр. То есть речь идет о действительно очень высоком напряжении.

[EUgeneUS]

AnatolyBa
Согласно ролику, который был в удаленной теме, при около 10 кВ в конденсаторе с зазором около 5-10 см стрелка обычного компаса поворачивается почти на 90 градусов.

Вообще-то, что перетянет и насколько, зависит от магнитного момента стрелки, который может и не быть большим.

-- 17.04.2021, 18:51 --

fred1996 в сообщении #1514784 писал(а):

Кстати, а что у нас выйдет с равносторонним треугольником?

Из соображений симметрии должно быть
А) либо момент тождественно равен нулю.
Б) либо момент имеет шесть нулей, а значит является функцией от тройного нуля.

-- 17.04.2021, 19:02 --

Upd. Причём пункт Б) невозможен, ибо предполагает кубы от синуса-косинуса, которым взять не откуда.
То есть, для равностороннего треугольника момент должен быть равен нулю тождественно.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1514796 писал(а):

от тройного нуля.

Оопс. От тройного угла, конечно.

[AnatolyBa]

Прошу прощения, я микротеслы с миллитеслами перепутал. После поправки оценка снижается до 3 кВ/см, это в предположении, что стрелка достаточно сильный магнитик. Если слабый, то до 1 кВ/см. Ну что-ж, учитывая грубость оценки, не так уж плохо.

[Ignatovich]

fred1996 в сообщении #1514784 писал(а):

Кстати, а что у нас выйдет с равносторонним треугольником?

Момент нулевой при $r<<a,b$, как и писал ранее EUgeneUS. Очень сомневаюсь, что момент будет нулевым и при больших размерах шаров.