Решение задачи по теории вероятностей

[vatrushka]

Решаю задачу из Ширяева
По ходу идут такие рассуждения в решении:
$X$ - случайная величина, принимающая неотрицательные значения
$(EX)^2 = (EX\cdot I(\abs{X} > 0))^2 \leq E(X \cdot I(\abs{X}>0))^2 = E X^2 (1-P(X=0))$
А откуда берется последнее равенство?
Спасибо

[Otta]

Что-то мне кажется, что $P(X=0)$ там лишнее.

[vatrushka]

Ну, в том то и проблемма, что это ключевой момент для решения задачи
Она формулируется исходно так:
Докажите, что $P(X=0) \leq \frac{Var X}{EX^2}$

-- 17.04.2021, 13:10 --

Ну и решение
$(EX)^2 = E(X I(|X| > 0))^2 \leq EX^2 P(\abs{X}>0) = E X^2 (1-P(X = 0))$
Ну и дальше получается что $\frac{Var(X)}{EX^2} \geq P(X=0)$

-- 17.04.2021, 13:12 --

Если в тему, то там рядом была похожая задачка
$E\frac{1}{X}\geq \frac{1}{EX}$, но они все решаются по неравенству йенсена

-- 17.04.2021, 13:21 --

Ок, на самом деле вопрос частично решен, ибо задачка оказалась с небольшим подвохом
Доказательство тут
https://ru.qaz.wiki/wiki/Paley%E2%80%93 ... inequality
Буду изучать

[Otta]

А, я поняла, где я обманулась. Снова перестала понимать.

vatrushka в сообщении #1514669 писал(а):

А откуда берется последнее равенство?

А это - просто неравенство Коши для матожиданий.

[vatrushka]

Да, вы действительно правы, что то я даже не знал что такое есть
Спасибо)

[svv]

А можете уточнить, какая книга, какая задача?

[vatrushka]

Да, я там немного перепутал где стоит знак неравенства, но теперь мне все понятно, спасибо

-- 17.04.2021, 13:51 --

Ширяев, задачи по теории вероятностей

[svv]

А где там эта задача?

[vatrushka]

стр 98 задача 46
или задача 64 стр 274 в зависимости от сборника
В ширяеве это задача сформулированна $P(X>0) \geq \frac{(EX)^2}{EX^2}$
А в той формулировке, что я привел - вступительная в MADE какого то года
Они эквивалентны по сути

[svv]

Мне хотелось найти источник, в котором

vatrushka в сообщении #1514669 писал(а):

По ходу идут такие рассуждения в решении:
$X$ - случайная величина, принимающая неотрицательные значения
$(EX)^2 = (EX\cdot I(\abs{X} > 0))^2 \leq E(X \cdot I(\abs{X}>0))^2 = E X^2 (1-P(X=0))$
А откуда берется последнее равенство?

Мне, как и Otta, рассуждение показалось странным. Я вчера минут пятнадцать искал это в Ширяеве, не нашёл. Теперь выясняется, что и не нашёл бы.

Вы в таких случаях сразу точную ссылку приводите, нетрудно же.

[vatrushka]

Так, я посмотрел
Вероятно, от издания к изданию она меняла формулировку
Решение тут
https://vk.com/doc126754362_457864991?h ... bc9b657292
Стр 275 задание 64