"Похожие" числа

[prrrr]

Условие: будем называть числа "похожими", если у них совпадает сумма цифр и произведение цифр (например 1124 и 8). Нужно найти все числа, у которых нет "похожих".

Я решал так:
В общем виде, условия соответствия критерию «похожести» (сумма цифр числа равна произведению его цифр) для любого $n$-значного числа, состоящего из $n$ цифр $A_n$ можно записать в следующем виде:
$A_1+A_2+...+A_n=A_1 \cdot A_2 \cdot ... \cdot A_n \Rightarrow$ (1)

$\Rightarrow \frac{1}{A_2 \cdot A_3 \cdot ... \cdot A_n}+\frac{1}{A_1 \cdot A_3 \cdot ... \cdot A_n}+...+\frac{1}{A_1 \cdot A_2 \cdot ... \cdot A_n}=1$ (2)

Из формулы (1) очевидно, что похожих не будет у чисел $1$, $2$, $3$, $5$, $7$, $9$, т.к. они простые и их невозможно разложить на множители.

Из формулы (2) видно, что для двузначных чисел похожее будет только у числа $22$ (только у него произведение цифр равно сумме цифр). У остальных двузначных чисел сумма и произведение цифр будут всегда отличаться. Следовательно, они не попадают под критерий «похожести» установленный задачей и не будут иметь похожих чисел.

Далее, из формулы (1) видно, что для трех и более значных чисел похожие можно найти только для чисел, у которых в записи присутствует m единиц, причем m равно разнице между произведением и суммой цифр рассматриваемого числа. При этом похожие числа можно получить как в заданном примере ($123$ и $6$, $1124$ и $8$), так и путем перестановки цифр в числе ($123$ и $321$, $1124$ и $2141$).

Остальные числа, кроме попадающих под указанные выше критерии похожих чисел иметь не будут.

Чувствую, что решение очень не оптимальное, но не понимаю, куда двигаться дальше. Подскажите пожалуйста.

[kotenok gav]

prrrr в сообщении #1513794 писал(а):

будем называть числа "похожими", если у них совпадает сумма цифр и произведение цифр

Совпадают у самого числа или у пары чисел? Вы решили задачу в первом предположении, но ведь явно имелось в виду второе.

[prrrr]

kotenok gav в сообщении #1513796 писал(а):

Совпадают у самого числа или у пары чисел? Вы решили задачу в первом предположении, но ведь явно имелось в виду второе.

Пара чисел считается "похожими", если:
1. У обоих чисел сумма цифр равна произведению цифр;
2. Полученные значения суммы (произведения) цифр для первого и второго числа равны между собой.

Например числа $1124$ и $8$ - считаются "похожими". Нужно найти все числа, которые "похожих" не имеют.

[Gagarin1968]

prrrr в сообщении #1513794 писал(а):

очевидно, что похожих не будет у чисел $1$, $2$, $3$, $5$, $7$, $9$, т.к. они простые и их невозможно разложить на множители.

Это не так.
$11133$ и $9$
$11313$ и $9$ и т.д.

[wrest]

prrrr в сообщении #1513794 писал(а):

что похожих не будет у чисел $1$, $2$, $3$, $5$, $7$, $9$, т.к. они простые

9 составное ;)

[prrrr]

wrest в сообщении #1513820 писал(а):

9 составное ;)

Точно Зарешался немного

[Null]

prrrr в сообщении #1513794 писал(а):

$n$-значного числа, состоящего из $n$ цифр $A_n$

Мелочь, но так говорят про число в котором все цифры одинаковы.

[xagiwo]

prrrr
Условие задачи точно именно такое, как Вы сказали? Я сомневаюсь, что в ней есть ответ в какой-то адекватной форме. Среди чисел, у которых сумма цифр равна произведению, не имеющих "похожих" совсем немного, как Вы уже показали. Остаётся описать все числа, у которых сумма цифр отлична от произведения, а это по нормальному сделать не получится.

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1513860 писал(а):

prrrr
Условие задачи точно именно такое, как Вы сказали? Я сомневаюсь, что в ней есть ответ в какой-то адекватной форме. Среди чисел, у которых сумма цифр равна произведению, не имеющих "похожих" совсем немного, как Вы уже показали. Остаётся описать все числа, у которых сумма цифр отлична от произведения, а это по нормальному сделать не получится.

Да, Вы правы, условие на самом деле немного менее строгое: два числа считаются похожими, если у них равны сумма цифр и произведение цифр, но эти сумма и произведение не обязательно должны быть равны между собой. Например, похожими считаются числа $1124$ и $8$, $30$ и $300$.

Тогда у меня получается такое решение:
Из условия следует, что похожих чисел не будет у чисел $1, 2, 3, 5, 7$, т.к. это простые однозначные числа и их невозможно разложить на множители , т.е. невозможно найти число для которого сумма и произведение будут равны $1, 2, 3, 5, 7$.

Условие о том, что сумма и произведение для похожего на однозначное число должны быть обязательно равны, вытекает из того, что числа однозначные и значит сумма и произведение равны самому числу.

Для двух и более значных чисел, похожее число можно всегда получить несколькими способами:
1. Если число состоит из разных цифр, то похожее получается путем перестановки хотя бы двух цифр местами (сумма и произведение цифр не меняются). Пример: $123$ и $321$.

2. Если число состоит из одинаковых цифр, то похожее число можно получить дописав в любом месте числа количество единиц, равное разнице между произведением цифр и их суммой. Это справедливо для всех чисел, состоящих из одинаковых цифр, т.к. произведение цифр всегда будет больше суммы цифр (кроме числа $22$ у него сумма и произведение равны $4$ и похожим числом будет – $4$). Пример: $33$ и $11133$.

3. Если число кратно $10$, то похожее можно получить дописав в конце числа один ноль. Пример: $30$ и $300$.

Таким образом, для любого натурального числа, кроме чисел $1, 2, 3, 5$ и $7$ всегда найдется похожее.

[kotenok gav]

prrrr в сообщении #1513935 писал(а):

$33$ и $11133$

А вы уверены, что у этих чисел одинаковы суммы цифр?

[prrrr]

kotenok gav в сообщении #1513937 писал(а):

prrrr в сообщении #1513935 писал(а):

$33$ и $11133$

А вы уверены, что у этих чисел одинаковы суммы цифр?

Тогда получается, что в решении п.1 и п.3 остаются, а п.2 будет сформулирован в следующем виде:
Если число состоит из одинаковых четных цифр - для него всегда найдется похожее, сформированное в виде: $\overline{AA}=\overline{\frac{A}{2}\frac{A}{2}\frac{A}{2}\frac{A}{2}}$, т.е. цифры в числе уменьшаются в $2$ раза, а количество цифр цвеличивается в $2$ раза. Это справедливо для всех чисел, кроме числа $22$ у него похожим числом будет $4$.
Если число состоит из одинаковых нечетных цифр $1, 3, 5, 7$, то у него не может быть похожего, т.к. это простые числа и их невозможно разложить на множители. Так же и у числа, состоящего только из $2$ (простое, четное).
Если число состоит из одних $9$, то у него всегда будет похожее, в котором будут повторяться цифры $11133$ столько раз, сколько $9$ в числе.

И тогда ответ будет такой: Похожих чисел нет у чисел, составленных с помощью только одной из цифр: $1, 2, 3, 5, 7$.

[kotenok gav]

prrrr в сообщении #1513939 писал(а):

$\overline{AA}=\overline{\frac{A}{2}\frac{A}{2}\frac{A}{2}\frac{A}{2}}$

Произведение цифр другое.

[prrrr]

kotenok gav в сообщении #1513940 писал(а):

prrrr в сообщении #1513939 писал(а):

$\overline{AA}=\overline{\frac{A}{2}\frac{A}{2}\frac{A}{2}\frac{A}{2}}$

Произведение цифр другое.

Тогда попробую с другой стороны подойти:

Представим числа от $1$ до $9$ в виде чисел сумма и произведение цифр в которых равно самому числу:
$1 \to 1$

$2 \to 2$

$3 \to 3$

$4 \to 22$

$5 \to 5$

$6 \to 123$

$7 \to 7$

$8 \to 1124$

$9 \to 11133$

Тогда видно, что из однозначных чисел похожих не будет у чисел $1, 2, 3, 5, 7$.
Для составленных из разных цифр двузначных и более чисел, мы можем получить похожие числа путем:
1. Перестановки местами двух и более цифр в числе. Например $123$ и $321$
2. Из сопоставления, указанного выше, видно, что можно каждую цифру в произвольном натуральном числе, соответствующую числу слева, заменить на цифры, соответствующие числу справа.
Например $34$ и $322$, или $9875$ и $11133112475$
3. Для чисел, имеющих в записи $0$, похожие можно получить добавлением еще одного $0$ в любом месте числа.

Пользуясь сопоставлением, указанным выше, можно сделать вывод, что похожих не будет только у чисел, составленных с помощью одной цифры из следующего списка: $1, 2, 3, 5, 7$.

[kotenok gav]

У меня один вопрос - вы уверены, что у числа $77$ есть похожие?

[prrrr]

kotenok gav в сообщении #1513949 писал(а):

У меня один вопрос - вы уверены, что у числа $77$ есть похожие?

Нет, у числа $77$ нет похожих, т.к. оно составлено только из $7$, а у чисел составленных только с помощью одной из цифр $1, 2, 3, 5, 7$ похожих быть не может. Например: $1111$, $33$, $77777$ и т.д.