Две задачки для школьников.

[worm2]

Если от конца, то всё равно нужно уточнить.
Я понимаю отрезание так: на бревне случайно выбирается точка (распределение равномерное по бревну), затем случайно выбирается левый либо правый отрезок бревна (вероятности каждого выбора равны 0.5), и выбранный отрезок выбрасывается. С остатком бревна опять проводят данную процедуру.

Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды:

Либо выбрасывается всегда правый конец, мне кажется, ответ в обоих случаях должен быть одинаковым.

Добавлено спустя 6 минут 22 секунды:

Вроде, получается

$$\frac 1 {2^NN!}$$

. Или, что то же самое,

$$\frac 1 {(2N)!!}$$

[Коровьев]

1) Отвлечёмся от вероятности и обозначим длину первого отрезка через x, второго - черезy . Длину основного отрезка примем за единицу. Не принципиально. Тогда замкнутая область

\[ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 1 \\ \end{array} \]

-есть усечённый отрезком квадрат, который представляет множество возможных распилов. В неё входят и варианты, к примеру,x=1, y=0
Условие же задачи задаёт область

\[ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 0.5 \\ \end{array} \]

Отсюда вероятность есть отношение площадей и равно

\[ {\textstyle{1 \over 4}} \]

*****
2)Аналогично и для N
Только замкнутые области есть усечённые гиперплоскостью N-мерные гиперкубы.

Добавлено спустя 13 минут 50 секунд:

Ну и старая задача на эту методу.
Два междугородных автобуса прибывают на промежуточную остановку в интервале одного часа. Пусть: с 12=00 по 13=00.
Стоянка по рассписанию двадцать минут, независимо от времени прихода.
Какова вероятность встречи пассажиров этих автобусов.

[xaxa3217]

решаю в лоб:
для двух отрезков искомая вероятность считаем так - разбиваем интервал $(\frac{1}{2}, 1)$ на $n$ частей-интервалов, для каждой части считаем вероятность попадания первой точки "сруба" в него (пусть $i$-ый интервал с центром в точке $\frac{i}{2n}+\frac{1}{2}$), и умножаем на вероятность того, что вторая точка сруба из интервала $(0, \frac{1}{2} + \frac{i}{2n})$ попадет в интервал $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}+\frac{i}{2n})$:
$ p_{i} =\frac{1}{2n} * \frac{ \frac{i}{2n} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} {\frac{1}{2} + \frac{i}{2n}}$

все это суммируем тк события несовместимы из-за того что части не пересекаются и ищем предел:

$p = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} p_{i}$

но с другой стороны
$p = \int_{\frac{1}{2} }^{1} \frac{x - \flac{1}{2}} {x} dx = \frac{1} {2} + \frac{1} {2} * ln(\frac{1}{2})$

по определению интеграла.

самое интересное, что метод монте-карло выдает примерно тот же результат (генерирую crt-функцией rand()) - 0.154279. где я не так понял условие?

[worm2]

Коровьев, Вы правы.
Я ошибся в формуле. Теперь, вроде, получается $2^{-N}$.

[Коровьев]

xaxa3217 писал(а):

решаю в лоб:
для двух отрезков искомая вероятность считаем так - разбиваем интервал (1/2, 1) на n частей-интервалов, для каждой части считаем вероятность попадания первой точки "сруба" в него (пусть i-ый интервал с центром в точке i/2n+1/2), и умножаем на вероятность того, что вторая точка сруба из интервала (0, i/2n+1/2) попадет в интервал (0, i/2n):
1/2n * (i/2n) / (1/2 + i/2n) = 1/2n * (i/2n + 1/2 - 1/2) / (1/2 + i/2n)
все это суммируем тк события несовместимы из-за того что части не пересекаются. при n->бесконечности предел этого ряда является интегралом от 1/2 до 1 функции (x-1/2)/x по x. он равен 1/2 + 1/2*ln(1/2).
самое интересное, что метод монте-карло выдает примерно тот же результат (генерирую crt-функцией rand()) - 0.154279. где я не так понял условие?

Для начала надо сделать пост читабельным с помощью "$" и [math)...(/math].
Найти не "геометрическое" решение - это желательно и интересно.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

worm2 писал(а):

Коровьев, Вы правы.
Я ошибся в формуле. Теперь, вроде, получается $2^{-N}$.

Да, верно. Задача про автобусы посложнее.

[xaxa3217]

2Коровьев извиняюсь, как раз думал выучить правила оформления формул в техе. предыдущее сообщение отредактировал.
--
по поводу задачи с автобусом - нам такую давали на семинаре по терверу, в принципе если человек имеет представление о представлении вероятности как отношения площадей некоторых фигур, при соотв. интепретациях, то решение напрашивается само собой. ответ $\frac{4}{9}$

[Коровьев]

Насколько мне помнится, ответ

\[{\textstyle{2 \over 3}}\]

Впрочем, не утверждаю.

[xaxa3217]

похоже и я, и вы в ответе ошиблись. множество точек $(x,y)$ квадрата 1x1 есть множество событий прибытия первого автобуса в $x$-ый момент времени, второго автобуса в $y$-ый, если час принять за единицу. раз распределение обоих координат равномерное, и они независимы, то ответом будет отношение меры множества точек $|x-y|<\frac{1}{3}$ в квадрате, к мере множества точек квадрата, что равно площади квадрата без двух прямоугольных треугольников с катетами равными $\frac{2}{3}$ что равно $1-2*\frac{\frac{2}{3}*\frac{2}{3}}{2} = \frac{5}{9}$
но это все мелочи, лучше скажите, что у меня не так в "лобовом" решении предыдущей задачи про распилы.

[Коровьев]

xaxa3217 писал(а):

похоже и я, и вы в ответе ошиблись. множество точек $(x,y)$ квадрата 1x1 есть множество событий прибытия первого автобуса в $x$-ый момент времени, второго автобуса в $y$-ый, если час принять за единицу. раз распределение обоих координат равномерное, и они независимы, то ответом будет отношение меры множества точек $|x-y|<\frac{1}{3}$ в квадрате, к мере множества точек квадрата, что равно площади квадрата без двух прямоугольных треугольников с катетами равными $\frac{2}{3}$ что равно $1-2*\frac{\frac{2}{3}*\frac{2}{3}}{2} = \frac{5}{9}$
но это все мелочи, лучше скажите, что у меня не так в "лобовом" решении предыдущей задачи про распилы.

Да, верно, ответ $ \frac{5}{9} $
Это правильно, что Вы привели решение, а не просто ответ. Подобных задач очень много. Есть и про встречу трёх человек.
Про лобовое решение, откровенно, мне лень напрягаться. Может кто из читателей разберётся?

[Tronter]

На какой максимальное число частей могут разбить плоскость 2008 прямых.

[juna]

2017037

[Tronter]

А как решить ее, дайте решение, ссылку плиз![/b]

[Brukvalub]

Недавно уже решали, см. архив сообщений.

[juna]

Можно посмотреть Р. Грэхем "Конкретная математика" - задача о разрезании пиццы.

[Erken1]

Tronter писал(а):

На какой максимальное число частей могут разбить плоскость 2008 прямых.

а разве не очевидно?

ясно что каждая точка является пересечением ровно двух прямых, иначе количество плоскостей не максимально. при этом не существует параллельных прямых.

для того чтобы "подобрать" ответ, рассмотрим несколько частных случаев:

для 1 ответ 2

для 2 ответ 4

для 3 ответ 7

для 4 ответ 11

для 5 ответ 16

...то есть для 2008 ответ:

$1004\cdot 2009+1=2017037$