Задача по теории чисел

[Ilya2001]

Задача: Докажите, что в натурально ряду существует сколь угодно длинные промежутки, не содержащие простых чисел!



Заметим, что каждое второе число начиная с 2 делится на 2, каждое третье число, начиная с 3 делится на 3, и так далее.
В качестве опорных чисел можем взять любое простое число плюс 1 и большее его простое число минус 1, тогда получим, что в таком интервале существуют числа, указанные выше (каждое второе, третье и.т.д, кроме их самих). Значит, таким образом, мы можем получить сколь угодно таких интервалов в силу бесконечности натурального ряда, а длина будет зависеть от частоты появления простых чисел.

Вопрос: Правильное мое рассуждение и подходит ли оно для решения задачи?

[Sinoid]

Ilya2001 в сообщении #1513738 писал(а):

будет зависеть от частоты появления простых чисел

И вот в этом месте вы, во всяком случае, пользуясь методами стандартной теории чисел, изучаемой в вузе, и утонете благополучно, ИМХО. Про аналитическую теорию чисел я, конечно, не скажу

[svv]

Используйте китайскую теорему об остатках.

[kotenok gav]

Используйте факториалы.

[Батороев]

Используйте примориалы.

[vorvalm]

А.А.Бухштаб. Теорема 22.

$(k+1)!+(k+1)$