Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)

[vorvalm]

Этот вопрос связан с разностью между простыми числами ПСВ
по модулю $p_r\#$. Имеется в виду интервал простых чисел
$ 1.........p^2_{r+1}$ в этой ПСВ.
Этот интервал является составной частью ПСВ$(p_r\#)$ и
ему присущи все закономерности ПСВ.
Обратим внимание на последовательность OEIS A048670.
Здесь приводятся максимальные разности $d_r$ между вычетами ПСВ$(p_r\#)$
в соответствии с $r$ простых чисел, составляющих модуль ПСВ.
Если взять относительную разность $c = d_r/p_{r+1}$, то с ростом $ r$
эта разность растет и концу последовательности достигает $ c \approx 3,35$
Если последовательность продолжить, то можно ожидать дальнейший рост $c$.
Вопрос. Есть ли предел этого роста и чему он равен ?
На мой взгляд предел есть и он равен $c=4$, т.е. $d_{r\max}=4p_{r+1}$

[Dmitriy40]

Это неверно, в праймориале $2111\#$ существует интервал длиной как минимум $8454$.
А в $2647\#$ есть интервал $10660$, т.е. в $4.012$ раза длиннее следующего простого. Но это скорее аномалия, дальше отношение расти не хочет, так и колеблется около $4.001$.
Начиная же с $2803\#$ наверное вообще все простые перекрывают интервал больше 4-х кратного следующему простому.
Возможно контрпример есть и меньше.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1513452 писал(а):

Этот вопрос связан с разностью между простыми числами ПСВ
по модулю $p_r\#$. Имеется в виду интервал простых чисел
$ 1.........p^2_{r+1}$ в этой ПСВ.
Этот интервал является составной частью ПСВ$(p_r\#)$ и
ему присущи все закономерности ПСВ.

Согласен.

Цитата:

Обратим внимание на последовательность OEIS A048670.
Здесь приводятся максимальные разности $d_r$ между вычетами ПСВ$(p_r\#)$
в соответствии с $r$ простых чисел, составляющих модуль ПСВ.
Если взять относительную разность $c = d_r/p_{r+1}$, то с ростом $ r$
эта разность растет и концу последовательности достигает $ c \approx 3,35$
Если последовательность продолжить, то можно ожидать дальнейший рост $c$.
Вопрос. Есть ли предел этого роста и чему он равен ?
На мой взгляд предел есть и он равен $c=4$, т.е. $d_{r\max}=4p_{r+1}$

Нужно доказательство.

Для оценки $d_r$ это грубовато, так как $c$ меняется в большом диапазоне.

[Dmitriy40]

И так и продолжает колебаться дальше, но ни к какому конкретному числу похоже не стремится, во всяком случае для использованного мною алгоритма перекрытия вычетов.
Например вот для некоторых простых:
$p_r=9001, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9007, d/p_{r+1}=4.000222$
$p_r=9011, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9013, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9029, d/p_{r+1}=4.001327$
$p_r=9041, d/p_{r+1}=4.000221$
$p_r=9043, d/p_{r+1}=4.000221$
$p_r=9049, d/p_{r+1}=4.000662$
$p_r=9059, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9067, d/p_{r+1}=4.000220$
$p_r=9091, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9103, d/p_{r+1}=4.003293$
$p_r=9109, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9127, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9133, d/p_{r+1}=4.000219$
$p_r=9137, d/p_{r+1}=4.000219$
$p_r=9151, d/p_{r+1}=4.002184$
$p_r=9157, d/p_{r+1}=4.000218$
$p_r=9161, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9173, d/p_{r+1}=4.001307$
$p_r=9181, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9187, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9199, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29009, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29017, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29021, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29023, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29027, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29033, d/p_{r+1}=4.000895$
$p_r=29059, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29063, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29077, d/p_{r+1}=4.000619$

vicvolf в сообщении #1513469 писал(а):

Для оценки $d_r$ это грубовато, так как $c$ меняется в большом диапазоне.

Нет не меняется.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513471 писал(а):

vicvolf в сообщении #1513469 писал(а):

Для оценки $d_r$ это грубовато, так как $c$ меняется в большом диапазоне.

Нет не меняется.

Я имею в виду оценку $d_r$ для меньших значений $p_r$.

[vorvalm]

Dmitriy40
Это же замечательно. Я конечно погорячился назвав
этот предел точным числом 4. Но ваш результат
меня просто воодушевил.

[Dmitriy40]

vorvalm
Да нет здесь предела! Потому что ни к какому конкретному числу не стремится. Есть лишь ограничение сверху, примерно $4.02 p_{r+1}$. Да и то, лишь для моего алгоритма размещения вычетов, для другого ограничение может быть и больше.

[vorvalm]

Dmitriy40
Колебания $c$ объясняются тем,
насколько отличаются числа $p_{r+1}$ и $p_r$.

[Dmitriy40]

vorvalm
Если есть незатухающие колебания (а я не вижу их затухания) — значит предела нет. Максимум могут быть ограничения, снизу и/или сверху. Это основы матанализа.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513471 писал(а):

$p_r=29009, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29017, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29021, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29023, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29027, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29033, d/p_{r+1}=4.000895$
$p_r=29059, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29063, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29077, d/p_{r+1}=4.000619$

Ну здесь практически везде три нуля после запятой. В пределах вычислительной погрешности.

-- 08.04.2021, 18:44 --

vorvalm в сообщении #1513478 писал(а):

Dmitriy40
Колебания $c$ объясняются тем,
насколько отличаются числа $p_{r+1}$ и $p_r$.

Нужно доказательство, почему предел равен 4.

[Dmitriy40]

vicvolf
Не предел!! Во всяком случае без доказательства убывания погрешности!
А три нуля - просто чисел мало, где-то встретится и чуть больше отношение.

[vicvolf]

Dmitriy40
А если посмотреть отношение $d/p_{r-2}$?

[vorvalm]

Dmitriy40 в сообщении #1513479 писал(а):

Если есть незатухающие колебания (а я не вижу их затухания) — значит предела нет. Максимум могут быть ограничения, снизу и/или сверху. Это основы матанализа.

Не забывайте, что мы имеем дело с простыми числами и мат. анализ здесь ни при чем.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1513483 писал(а):

Dmitriy40
А если посмотреть отношение $d/p_{r-2}$?

А смысл? Отношение $\dfrac{4 p_{r+1}}{4 p_{r-2}-2}$ с ростом $p_r$ очевидно будет всё ближе и ближе к $1$, т.е. ваше отношение будет всё ближе и ближе к данному. С колебаниями, но ближе. Дробь же превратится в отношение логарифмов близких чисел (а они близкие, интервалы между простыми растут намного медленнее самих простых).

vorvalm
Без доказательства сходимости не имеете права говорить о пределе. Доказывайте!

-- 08.04.2021, 19:09 --

vicvolf в сообщении #1513483 писал(а):

Dmitriy40
А если посмотреть отношение $d/p_{r-2}$?

Впрочем ...
$p_r=2609, d=10368, l=4p_{r-2}-2=10362, d/l=1.000579$
$p_r=2617, d=10376, l=4p_{r-2}-2=10370, d/l=1.000579$
$p_r=2621, d=10438, l=4p_{r-2}-2=10434, d/l=1.000383$
$p_r=2633, d=10468, l=4p_{r-2}-2=10466, d/l=1.000191$
$p_r=2647, d=10492, l=4p_{r-2}-2=10482, d/l=1.000954$
$p_r=2657, d=10536, l=4p_{r-2}-2=10530, d/l=1.000570$
$p_r=2659, d=10588, l=4p_{r-2}-2=10586, d/l=1.000189$
$p_r=2663, d=10638, l=4p_{r-2}-2=10626, d/l=1.001129$
$p_r=2671, d=10648, l=4p_{r-2}-2=10634, d/l=1.001317$
$p_r=2677, d=10662, l=4p_{r-2}-2=10650, d/l=1.001127$
$p_r=2683, d=10688, l=4p_{r-2}-2=10682, d/l=1.000562$
$p_r=2687, d=10708, l=4p_{r-2}-2=10706, d/l=1.000187$
$p_r=2689, d=2026, l=4p_{r-2}-2=10730, d/l=0.188816$ — тут осталось минимум одно небольшое невычеркнутое число, какой после него интервал я не проверял.
$p_r=2693, d=10750, l=4p_{r-2}-2=10746, d/l=1.000372$
$p_r=2699, d=10756, l=4p_{r-2}-2=10754, d/l=1.000186$
$p_r=2707, d=10776, l=4p_{r-2}-2=10770, d/l=1.000557$
$p_r=2711, d=10798, l=4p_{r-2}-2=10794, d/l=1.000371$
$p_r=2713, d=10832, l=4p_{r-2}-2=10826, d/l=1.000554$
$p_r=2719, d=10846, l=4p_{r-2}-2=10842, d/l=1.000369$
$p_r=2729, d=10862, l=4p_{r-2}-2=10850, d/l=1.001106$
$p_r=2731, d=10876, l=4p_{r-2}-2=10874, d/l=1.000184$
$p_r=2741, d=10918, l=4p_{r-2}-2=10914, d/l=1.000367$
$p_r=2749, d=10936, l=4p_{r-2}-2=10922, d/l=1.001282$
$p_r=2753, d=10992, l=4p_{r-2}-2=10962, d/l=1.002737$
$p_r=2767, d=10996, l=4p_{r-2}-2=10994, d/l=1.000182$
$p_r=2777, d=11016, l=4p_{r-2}-2=11010, d/l=1.000545$
$p_r=2789, d=11098, l=4p_{r-2}-2=11066, d/l=1.002892$
$p_r=2791, d=11112, l=4p_{r-2}-2=11106, d/l=1.000540$
$p_r=2797, d=11158, l=4p_{r-2}-2=11154, d/l=1.000359$
$p_r=2801, d=11168, l=4p_{r-2}-2=11162, d/l=1.000538$
$p_r=2803, d=11188, l=4p_{r-2}-2=11186, d/l=1.000179$
$p_r=2819, d=11208, l=4p_{r-2}-2=11202, d/l=1.000536$
$p_r=2833, d=11236, l=4p_{r-2}-2=11210, d/l=1.002319$
$p_r=2837, d=11284, l=4p_{r-2}-2=11274, d/l=1.000887$
$p_r=2843, d=11332, l=4p_{r-2}-2=11330, d/l=1.000177$
$p_r=2851, d=11350, l=4p_{r-2}-2=11346, d/l=1.000353$
$p_r=2857, d=11376, l=4p_{r-2}-2=11370, d/l=1.000528$
$p_r=2861, d=11410, l=4p_{r-2}-2=11402, d/l=1.000702$
$p_r=2879, d=11438, l=4p_{r-2}-2=11426, d/l=1.001050$
$p_r=2887, d=11448, l=4p_{r-2}-2=11442, d/l=1.000524$
$p_r=2897, d=11518, l=4p_{r-2}-2=11514, d/l=1.000347$

-- 08.04.2021, 19:11 --

Претензии по несовпадению размеров интервалов не принимаются: алгоритм пытается разместить вычеты максимально плотно и из-за разницы в длине заполняемого промежутка размещение тоже отличается, потому интервалы и не совпадают для каждого конкретного $p_r$. Это не ошибка (а то даже сам перепугался), это особенность моего алгоритма размещения вычетов.

-- 08.04.2021, 19:18 --

Ещё раз специально повторю: мой алгоритм не выдаёт именно максимально плотное размещение! Лишь некоторое приближение. Потому указанные выше цифры не являются минимальными! Скорее всего минимальные контрпримеры в 1.2-1.5 раза меньше.

[vorvalm]

Dmitriy40
Все ваши выкладки говорят об одном.
"Мы на правильном пути"