2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.
 
 Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 16:04 


31/12/10
1555
Этот вопрос связан с разностью между простыми числами ПСВ
по модулю $p_r\#$. Имеется в виду интервал простых чисел
$ 1.........p^2_{r+1}$ в этой ПСВ.
Этот интервал является составной частью ПСВ$(p_r\#)$ и
ему присущи все закономерности ПСВ.
Обратим внимание на последовательность OEIS A048670.
Здесь приводятся максимальные разности $d_r$ между вычетами ПСВ$(p_r\#)$
в соответствии с $r$ простых чисел, составляющих модуль ПСВ.
Если взять относительную разность $c = d_r/p_{r+1}$, то с ростом $ r$
эта разность растет и концу последовательности достигает $ c \approx 3,35$
Если последовательность продолжить, то можно ожидать дальнейший рост $c$.
Вопрос. Есть ли предел этого роста и чему он равен ?
На мой взгляд предел есть и он равен $c=4$, т.е. $d_{r\max}=4p_{r+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:01 
Заслуженный участник


20/08/14
11445
Россия, Москва
Это неверно, в праймориале $2111\#$ существует интервал длиной как минимум $8454$.
А в $2647\#$ есть интервал $10660$, т.е. в $4.012$ раза длиннее следующего простого. Но это скорее аномалия, дальше отношение расти не хочет, так и колеблется около $4.001$.
Начиная же с $2803\#$ наверное вообще все простые перекрывают интервал больше 4-х кратного следующему простому.
Возможно контрпример есть и меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:05 


23/02/12
3235
vorvalm в сообщении #1513452 писал(а):
Этот вопрос связан с разностью между простыми числами ПСВ
по модулю $p_r\#$. Имеется в виду интервал простых чисел
$ 1.........p^2_{r+1}$ в этой ПСВ.
Этот интервал является составной частью ПСВ$(p_r\#)$ и
ему присущи все закономерности ПСВ.

Согласен.
Цитата:
Обратим внимание на последовательность OEIS A048670.
Здесь приводятся максимальные разности $d_r$ между вычетами ПСВ$(p_r\#)$
в соответствии с $r$ простых чисел, составляющих модуль ПСВ.
Если взять относительную разность $c = d_r/p_{r+1}$, то с ростом $ r$
эта разность растет и концу последовательности достигает $ c \approx 3,35$
Если последовательность продолжить, то можно ожидать дальнейший рост $c$.
Вопрос. Есть ли предел этого роста и чему он равен ?
На мой взгляд предел есть и он равен $c=4$, т.е. $d_{r\max}=4p_{r+1}$

Нужно доказательство.

Для оценки $d_r$ это грубовато, так как $c$ меняется в большом диапазоне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:08 
Заслуженный участник


20/08/14
11445
Россия, Москва
И так и продолжает колебаться дальше, но ни к какому конкретному числу похоже не стремится, во всяком случае для использованного мною алгоритма перекрытия вычетов.
Например вот для некоторых простых:
$p_r=9001, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9007, d/p_{r+1}=4.000222$
$p_r=9011, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9013, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9029, d/p_{r+1}=4.001327$
$p_r=9041, d/p_{r+1}=4.000221$
$p_r=9043, d/p_{r+1}=4.000221$
$p_r=9049, d/p_{r+1}=4.000662$
$p_r=9059, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9067, d/p_{r+1}=4.000220$
$p_r=9091, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9103, d/p_{r+1}=4.003293$
$p_r=9109, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9127, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9133, d/p_{r+1}=4.000219$
$p_r=9137, d/p_{r+1}=4.000219$
$p_r=9151, d/p_{r+1}=4.002184$
$p_r=9157, d/p_{r+1}=4.000218$
$p_r=9161, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9173, d/p_{r+1}=4.001307$
$p_r=9181, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9187, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=9199, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29009, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29017, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29021, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29023, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29027, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29033, d/p_{r+1}=4.000895$
$p_r=29059, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29063, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29077, d/p_{r+1}=4.000619$

vicvolf в сообщении #1513469 писал(а):
Для оценки $d_r$ это грубовато, так как $c$ меняется в большом диапазоне.
Нет не меняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:13 


23/02/12
3235
Dmitriy40 в сообщении #1513471 писал(а):
vicvolf в сообщении #1513469 писал(а):
Для оценки $d_r$ это грубовато, так как $c$ меняется в большом диапазоне.
Нет не меняется.
Я имею в виду оценку $d_r$ для меньших значений $p_r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:22 


31/12/10
1555
Dmitriy40
Это же замечательно. Я конечно погорячился назвав
этот предел точным числом 4. Но ваш результат
меня просто воодушевил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:25 
Заслуженный участник


20/08/14
11445
Россия, Москва
vorvalm
Да нет здесь предела! Потому что ни к какому конкретному числу не стремится. Есть лишь ограничение сверху, примерно $4.02 p_{r+1}$. Да и то, лишь для моего алгоритма размещения вычетов, для другого ограничение может быть и больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:36 


31/12/10
1555
Dmitriy40
Колебания $c$ объясняются тем,
насколько отличаются числа $p_{r+1}$ и $p_r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:39 
Заслуженный участник


20/08/14
11445
Россия, Москва
vorvalm
Если есть незатухающие колебания (а я не вижу их затухания) — значит предела нет. Максимум могут быть ограничения, снизу и/или сверху. Это основы матанализа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:42 


23/02/12
3235
Dmitriy40 в сообщении #1513471 писал(а):
$p_r=29009, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29017, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29021, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29023, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29027, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29033, d/p_{r+1}=4.000895$
$p_r=29059, d/p_{r+1}=4.000000$
$p_r=29063, d/p_{r+1}=4.000069$
$p_r=29077, d/p_{r+1}=4.000619$
Ну здесь практически везде три нуля после запятой. В пределах вычислительной погрешности.

-- 08.04.2021, 18:44 --

vorvalm в сообщении #1513478 писал(а):
Dmitriy40
Колебания $c$ объясняются тем,
насколько отличаются числа $p_{r+1}$ и $p_r$.
Нужно доказательство, почему предел равен 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11445
Россия, Москва
vicvolf
Не предел!! Во всяком случае без доказательства убывания погрешности!
А три нуля - просто чисел мало, где-то встретится и чуть больше отношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 18:56 


23/02/12
3235
Dmitriy40
А если посмотреть отношение $d/p_{r-2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 19:01 


31/12/10
1555
Dmitriy40 в сообщении #1513479 писал(а):
Если есть незатухающие колебания (а я не вижу их затухания) — значит предела нет. Максимум могут быть ограничения, снизу и/или сверху. Это основы матанализа.

Не забывайте, что мы имеем дело с простыми числами и мат. анализ здесь ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 19:04 
Заслуженный участник


20/08/14
11445
Россия, Москва
vicvolf в сообщении #1513483 писал(а):
Dmitriy40
А если посмотреть отношение $d/p_{r-2}$?
А смысл? Отношение $\dfrac{4 p_{r+1}}{4 p_{r-2}-2}$ с ростом $p_r$ очевидно будет всё ближе и ближе к $1$, т.е. ваше отношение будет всё ближе и ближе к данному. С колебаниями, но ближе. Дробь же превратится в отношение логарифмов близких чисел (а они близкие, интервалы между простыми растут намного медленнее самих простых).

vorvalm
Без доказательства сходимости не имеете права говорить о пределе. Доказывайте!

-- 08.04.2021, 19:09 --

vicvolf в сообщении #1513483 писал(а):
Dmitriy40
А если посмотреть отношение $d/p_{r-2}$?

Впрочем ...
$p_r=2609, d=10368, l=4p_{r-2}-2=10362, d/l=1.000579$
$p_r=2617, d=10376, l=4p_{r-2}-2=10370, d/l=1.000579$
$p_r=2621, d=10438, l=4p_{r-2}-2=10434, d/l=1.000383$
$p_r=2633, d=10468, l=4p_{r-2}-2=10466, d/l=1.000191$
$p_r=2647, d=10492, l=4p_{r-2}-2=10482, d/l=1.000954$
$p_r=2657, d=10536, l=4p_{r-2}-2=10530, d/l=1.000570$
$p_r=2659, d=10588, l=4p_{r-2}-2=10586, d/l=1.000189$
$p_r=2663, d=10638, l=4p_{r-2}-2=10626, d/l=1.001129$
$p_r=2671, d=10648, l=4p_{r-2}-2=10634, d/l=1.001317$
$p_r=2677, d=10662, l=4p_{r-2}-2=10650, d/l=1.001127$
$p_r=2683, d=10688, l=4p_{r-2}-2=10682, d/l=1.000562$
$p_r=2687, d=10708, l=4p_{r-2}-2=10706, d/l=1.000187$
$p_r=2689, d=2026, l=4p_{r-2}-2=10730, d/l=0.188816$ — тут осталось минимум одно небольшое невычеркнутое число, какой после него интервал я не проверял.
$p_r=2693, d=10750, l=4p_{r-2}-2=10746, d/l=1.000372$
$p_r=2699, d=10756, l=4p_{r-2}-2=10754, d/l=1.000186$
$p_r=2707, d=10776, l=4p_{r-2}-2=10770, d/l=1.000557$
$p_r=2711, d=10798, l=4p_{r-2}-2=10794, d/l=1.000371$
$p_r=2713, d=10832, l=4p_{r-2}-2=10826, d/l=1.000554$
$p_r=2719, d=10846, l=4p_{r-2}-2=10842, d/l=1.000369$
$p_r=2729, d=10862, l=4p_{r-2}-2=10850, d/l=1.001106$
$p_r=2731, d=10876, l=4p_{r-2}-2=10874, d/l=1.000184$
$p_r=2741, d=10918, l=4p_{r-2}-2=10914, d/l=1.000367$
$p_r=2749, d=10936, l=4p_{r-2}-2=10922, d/l=1.001282$
$p_r=2753, d=10992, l=4p_{r-2}-2=10962, d/l=1.002737$
$p_r=2767, d=10996, l=4p_{r-2}-2=10994, d/l=1.000182$
$p_r=2777, d=11016, l=4p_{r-2}-2=11010, d/l=1.000545$
$p_r=2789, d=11098, l=4p_{r-2}-2=11066, d/l=1.002892$
$p_r=2791, d=11112, l=4p_{r-2}-2=11106, d/l=1.000540$
$p_r=2797, d=11158, l=4p_{r-2}-2=11154, d/l=1.000359$
$p_r=2801, d=11168, l=4p_{r-2}-2=11162, d/l=1.000538$
$p_r=2803, d=11188, l=4p_{r-2}-2=11186, d/l=1.000179$
$p_r=2819, d=11208, l=4p_{r-2}-2=11202, d/l=1.000536$
$p_r=2833, d=11236, l=4p_{r-2}-2=11210, d/l=1.002319$
$p_r=2837, d=11284, l=4p_{r-2}-2=11274, d/l=1.000887$
$p_r=2843, d=11332, l=4p_{r-2}-2=11330, d/l=1.000177$
$p_r=2851, d=11350, l=4p_{r-2}-2=11346, d/l=1.000353$
$p_r=2857, d=11376, l=4p_{r-2}-2=11370, d/l=1.000528$
$p_r=2861, d=11410, l=4p_{r-2}-2=11402, d/l=1.000702$
$p_r=2879, d=11438, l=4p_{r-2}-2=11426, d/l=1.001050$
$p_r=2887, d=11448, l=4p_{r-2}-2=11442, d/l=1.000524$
$p_r=2897, d=11518, l=4p_{r-2}-2=11514, d/l=1.000347$

-- 08.04.2021, 19:11 --

Претензии по несовпадению размеров интервалов не принимаются: алгоритм пытается разместить вычеты максимально плотно и из-за разницы в длине заполняемого промежутка размещение тоже отличается, потому интервалы и не совпадают для каждого конкретного $p_r$. Это не ошибка (а то даже сам перепугался), это особенность моего алгоритма размещения вычетов.

-- 08.04.2021, 19:18 --

Ещё раз специально повторю: мой алгоритм не выдаёт именно максимально плотное размещение! Лишь некоторое приближение. Потому указанные выше цифры не являются минимальными! Скорее всего минимальные контрпримеры в 1.2-1.5 раза меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение08.04.2021, 19:18 


31/12/10
1555
Dmitriy40
Все ваши выкладки говорят об одном.
"Мы на правильном пути"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 145 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group