2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 08:46 
Аватара пользователя


11/12/16
8965
уездный город Н
Задача появилась из "боковой ветви" темы про морской бой.

$a$ и $b$ - случайные величины с одинаковым (для простоты - ограниченным) носителем.
Непрерывные или дискретные - на выбор решающего.
Известно, что $E[a] = E[b]$

а) доказать, что $P(a>b)=P(b>a)$, или привести контрпример.
б) одна из случайных величин имеет равномерное распределение. Доказать, что $P(a>b)=P(b>a)$, или привести контрпример.

(Оффтоп)

Задача весьма проста, и скорее учебная, чем олимпиадная.
Но в ППР(М) не стал публиковать, потому что мне помощь не нужна. Решение и ответ я знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 11:18 
Аватара пользователя


06/04/21
9
пункт а.
$p(a=0)=0.5$, $p(a=1)=0.5$
$p(b=0)=0.95$, $p(b=10)=0.05$
$E(a)=E(b)=0.5\cdot1=0.05\cdot10=0.5$
$P(a>b)=0.5\cdot0.95=0.475$, $P(b>a)=1\cdot0.05=0.05$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 11:38 
Аватара пользователя


11/12/16
8965
уездный город Н
tonven
Конечно.
Видно, что равенство матожиданий вовсе не гарантирует равенства вероятностей выигрыша в игре больше-меньше.
У меня был контрпример с одним бимодальным распределением.
В вашем контрпримере видно, что бимодальность вовсе не требуется.

Остался пункт б)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1075
EUgeneUS в сообщении #1513399 писал(а):
Остался пункт б)
Если $a$ равномерная на $[0,1]$, то подходит $b$ из предыдущего примера, поскольку $P(a>b)=0.95$.

(Оффтоп)

С этими отношениями связана интересная тема - нетранзитивные кости (есть даже в Википедии).

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4846
Москва
А почему это вообще могло бы показаться правдой? Мат. ожидание можно загнать куда угодно манипулируя только очень далекими хвостами, а вот вероятность от этого сильно не поменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 12:58 
Аватара пользователя


06/04/21
9
$p(a)=c, E(a)=\int\limits_{0}^{d}cdx=c\cdot d$
$p(b)=2x, E(b)=\int\limits_{0}^{d}2xdx=d^2$
$d=\sqrt{c\cdot d}$
Равенство $P(a>b)=P(b>a)$ достигается только при $c=d/4$. В других случаях прямые $y=c$ и $y=2x$ пересекаются раньше или позже $d/2$.
Цитата:
Мат. ожидание можно загнать куда угодно манипулируя только очень далекими хвостами

Правило рычага: кладём грамм, а поднимает тонну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 13:23 
Аватара пользователя


11/12/16
8965
уездный город Н
alisa-lebovski в сообщении #1513413 писал(а):
С этими отношениями связана интересная тема - нетранзитивные кости (есть даже в Википедии).


Да, это почти тоже самое.

alisa-lebovski в сообщении #1513413 писал(а):
Если $a$ равномерная на $[0,1]$, то подходит $b$ из предыдущего примера, поскольку $P(a>b)=0.95$.

Не подходит. Носитель $b$ не помещается в $[0,1]$

mihaild в сообщении #1513416 писал(а):
А почему это вообще могло бы показаться правдой?

Не знаю.

-- 08.04.2021, 13:27 --

tonven в сообщении #1513418 писал(а):
$p(a)=c, E(a)=\int\limits_{0}^{d}cdx=c\cdot d$

Вы забываете про нормировку. Из которой сразу $c = 1/d$
UPD: и матожидание у Вас неверно посчитано.

tonven в сообщении #1513418 писал(а):
$p(b)=2x, E(b)=\int\limits_{0}^{d}2xdx=d^2$

А это вообще не всегда является плотностью вероятности.

Для носителя $[0.1]$ мне удалось доказать верность утверждения в б)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2587
Физтех
tonven в сообщении #1513395 писал(а):
пункт а.
$p(a=0)=0.5$, $p(a=1)=0.5$
$p(b=0)=0.95$, $p(b=10)=0.05$
$E(a)=E(b)=0.5\cdot1=0.05\cdot10=0.5$
$P(a>b)=0.5\cdot0.95=0.475$, $P(b>a)=1\cdot0.05=0.05$

А разве у этих случайных величин одинаковый носитель?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 13:44 
Аватара пользователя


11/12/16
8965
уездный город Н
ShMaxG в сообщении #1513424 писал(а):
А разве у этих случайных величин одинаковый носитель?


Тут одинаковым носителем можно считать $\left\lbrace0,1,10\right\rbrace$. А там, где сейчас "лежит ноль" "положить" очень маленькую ненулевую вероятность.
Выкладки станут более громоздкими, а результат будет таким же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 13:47 
Аватара пользователя


06/04/21
9
EUgeneUS в сообщении #1513422 писал(а):
Вы забываете про нормировку.

Точно. Единица вовеки веков.
А при $c=2$ прямые пересекаются как раз в $1$.
Про доказательство надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1075
Да, условия одинаковости носителей я проглядела, и tonven тоже.

Если $a$ равномерное на $[0,1]$, никак не получается. Обозначим ф.р. $b$ через $F$. Тогда
$$P(a<b)=\int_0^1P(a<x)\,dF(x)=\int_0^1x\,dF(x)=E[b]=1/2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 14:12 
Аватара пользователя


11/12/16
8965
уездный город Н
alisa-lebovski
Да, конечно.
Для дискретных случайных величин с носителем из ограниченного множества последовательных натуральных чисел, получается всё тоже самое.

А вот для носителей в виде объединения несвязных множеств, вроде бы получаются чудеса (детально не проверял).

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2587
Физтех
alisa-lebovski
Вы видимо предположили, что эти случайные величины независимы, но в условии про это ни слова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 14:15 
Аватара пользователя


11/12/16
8965
уездный город Н
ShMaxG в сообщении #1513434 писал(а):
Вы видимо предположили, что эти случайные величины независимы, но в условии про это ни слова.

Тут моя неаккуратность. Конечно, такое условие должно быть добавлено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием
Сообщение08.04.2021, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1075
EUgeneUS в сообщении #1513433 писал(а):
А вот для носителей в виде несвязных множеств, вроде бы получаются чудеса (детально не проверял).
Тогда Вы непонятно сформулировали условие, поскольку равномерное распределение подразумевается на отрезке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group