2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Координаты концов отрезка
Сообщение07.04.2021, 23:41 
Аватара пользователя


17/11/20
31
Добрый день. Прошу помощи или совета. Задача такая. (Интересует аналитический метод решения.) На координатной плоскости имеется отрезок $DE$, заданной длины (например $40$ мм), также на этой плоскости имеются две пересекающиеся прямые, отрезок $DE$ ($40$мм), т.е. его концы соединяют эти две прямые, к одной из прямой он перпендикулярен,
вопрос в следуещем каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?
Вот некоторые дополнительные данные: уравнение наклонной прямой $y=0.67x+20$ и $y=-40$ это уравнение прямой параллельной оси абсцис но ниже на $40$мм

Изображение


1. Кажется нужно провести пямую параллельную наклонной прямой на расстоянии 40мм., оно будет иметь следующий вид $y=-0.667x-28.074$
2. Затем решить систему из двух уравнений (уравнение $y=-40$ и $y=-0.667x-28.074$, найденное решение будет одним из концов искомого отрезка (17.889;-40)
3. Ну а затем подставить в известную формулу, известные данные и найти неизвестные $40=\sqrt{(17.889-x_1)^2+(-40-y_1)^2}$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.04.2021, 23:45 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24047
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- многочисленные картинки в данном случае только мешают, сформулируйте задачу в виде текста, набрав в том числе и формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), а заодно разобравшись с единицами измерения длин и координат;
- при формулировке учтите, что описание второй прямой "потерялось", из контекста можно предположить, что это ось абсцисс, но не более;
- предложите собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.04.2021, 15:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24047
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


-- 18.04.2021, 15:15 --

Ну и первое же замечание - у "параллельных" прямых разные коэффициенты углового наклона. Такое бывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение18.04.2021, 15:45 
Аватара пользователя


17/11/20
31
Пропустил одну цифру в формуле $y=-0.667x-28.074$ и $y=-0.667x+20$ вот так правильнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение18.04.2021, 16:51 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):
1. Кажется нужно провести пямую параллельную наклонной прямой на расстоянии 40мм., оно будет иметь следующий вид $y=-0.667x-28.074$
Есть две такие прямые по обе стороны, и это согласуется с тем, что решений тоже два. Второй отрезок на картинке не поместится, он справа и ниже.

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):
3. Ну а затем подставить в известную формулу, известные данные и найти неизвестные $40=\sqrt{(17.889-x_1)^2+(-40-y_1)^2}$
Так вы получите целую окружность точек на расстоянии 40 от известной.

Найдите вектор, ортогональный первой прямой и имеющий длину как у отрезка (есть два решения, отличающиеся знаком). Получаете прямую в 1 сдвигом исходной на этот вектор, решаете систему из 2, а потом чтобы получить вторую точку отрезка, из найденной точки вычитаете вектор. Один вектор даст один возможный отрезок, другой — второй возможный.

Вектор найти просто, раз у вас прямая задана уравнением $y = a x + b$ — один из её направляющих векторов будет $(1, a)$, его поворот на прямой угол будет $(-a, 1)$, и интересующий вектор будет каким-то кратным ему, $s (-a, 1) = (-s a, s)$, с условием, что $s^2 ((-a)^2 + 1^2) = L^2$, где $L$ — длина отрезка, откуда находится $s$. Вообще лучше было прямую задавать уравнением вида $a' x + b' y = c'$ — во-первых так вертикальную можно задать, во-вторых это скалярное произведение $(a', b') \cdot (x, y) = c'$, и если $(a', b')$ имеет длину 1, мы получим легко и нужный вектор (умножением на $\pm L$), и уравнения сдвинутых на него прямых, просто беря $c' \pm L$.

Вообще тут можно делать кучу разного, просто записать всё интересующее векторными формулами и потом получать разные способы решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение18.04.2021, 17:03 
Аватара пользователя


17/11/20
31
Спасибо, теперь в свободное время займусь осмыслением :facepalm: вашего предложения

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение18.04.2021, 18:09 


07/11/20
44
Можно еще вот как. Та точка внизу справа имеет координаты $(90 ; -40)$. Замечаем 2 подобных треугольника с коэффициентом подобия $\frac{2}{3}$. В большом треугольнике знаем 2 катета, находим гипотенузу (если хотите потренировать аналитический метод, то можно и по формуле длины отрезка). Далее можно найти все стороны в маленьком треугольнике. Потом точка E находится сразу. Точку $D$ можно найти несколькими способами. Если Вам нужно побольше формул, можете написать уравнение прямой $DE$. Ее угловой коэффициент находится сразу, а зная точку $E$, находим второе неизвестное. Точка $D$ будет точкой пересечения наклонной прямой и прямой $DE$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение19.04.2021, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17744
Москва
novichok2021 в сообщении #1514918 писал(а):
Пропустил одну цифру в формуле $y=-0.667x-28.074$ и $y=-0.667x+20$ вот так правильнее.
Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. Категорически не рекомендую в учебных задачах по аналитической геометрии заменять точные числа их приближениями. Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение19.04.2021, 16:02 
Аватара пользователя


23/05/20
170
Беларусь
Someone в сообщении #1515059 писал(а):
Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. ....
Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.


novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):
каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?


Совершенно согласен с Someone, потому что я результат посчитал с точностью до тысячных $D=(39,966;-6,78)$ и $E=(17,689;-40)$. При этом, если проверить по теореме Пифагора результат для $DE$, то получается $DE=40,01$, т.е сходится с точностью до одной сотой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение19.04.2021, 18:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну и вообще решить задачу для достаточно простого общего случая, заменив все конкретные числа какими-то неизвестными константами, обычно легче, меньше мельтешения цифр перед глазами. Да и для оптимизации вычислений потом тоже конкретные цифры не особо помогают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Координаты концов отрезка
Сообщение04.05.2021, 23:54 
Аватара пользователя


17/11/20
31
arseniiv в сообщении #1515087 писал(а):
Ну и вообще решить задачу для достаточно простого общего случая, заменив все конкретные числа какими-то неизвестными константами, обычно легче, меньше мельтешения цифр перед глазами. Да и для оптимизации вычислений потом тоже конкретные цифры не особо помогают.

Спасибо за помощь. Здоровья вам крепкого.

-- 04.05.2021, 23:55 --

arseniiv в сообщении #1514928 писал(а):
novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):
1. Кажется нужно провести пямую параллельную наклонной прямой на расстоянии 40мм., оно будет иметь следующий вид $y=-0.667x-28.074$
Есть две такие прямые по обе стороны, и это согласуется с тем, что решений тоже два. Второй отрезок на картинке не поместится, он справа и ниже.

novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):
3. Ну а затем подставить в известную формулу, известные данные и найти неизвестные $40=\sqrt{(17.889-x_1)^2+(-40-y_1)^2}$
Так вы получите целую окружность точек на расстоянии 40 от известной.

Найдите вектор, ортогональный первой прямой и имеющий длину как у отрезка (есть два решения, отличающиеся знаком). Получаете прямую в 1 сдвигом исходной на этот вектор, решаете систему из 2, а потом чтобы получить вторую точку отрезка, из найденной точки вычитаете вектор. Один вектор даст один возможный отрезок, другой — второй возможный.

Вектор найти просто, раз у вас прямая задана уравнением $y = a x + b$ — один из её направляющих векторов будет $(1, a)$, его поворот на прямой угол будет $(-a, 1)$, и интересующий вектор будет каким-то кратным ему, $s (-a, 1) = (-s a, s)$, с условием, что $s^2 ((-a)^2 + 1^2) = L^2$, где $L$ — длина отрезка, откуда находится $s$. Вообще лучше было прямую задавать уравнением вида $a' x + b' y = c'$ — во-первых так вертикальную можно задать, во-вторых это скалярное произведение $(a', b') \cdot (x, y) = c'$, и если $(a', b')$ имеет длину 1, мы получим легко и нужный вектор (умножением на $\pm L$), и уравнения сдвинутых на него прямых, просто беря $c' \pm L$.

Вообще тут можно делать кучу разного, просто записать всё интересующее векторными формулами и потом получать разные способы решения.

Благодарю вас.

-- 04.05.2021, 23:57 --

StepV в сообщении #1515069 писал(а):
Someone в сообщении #1515059 писал(а):
Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. ....
Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.


novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):
каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?


Совершенно согласен с Someone, потому что я результат посчитал с точностью до тысячных $D=(39,966;-6,78)$ и $E=(17,689;-40)$. При этом, если проверить по теореме Пифагора результат для $DE$, то получается $DE=40,01$, т.е сходится с точностью до одной сотой.

Спасибо за участие. Удачи вам.

-- 04.05.2021, 23:57 --

StepV в сообщении #1515069 писал(а):
Someone в сообщении #1515059 писал(а):
Сильно подозреваю, что $0.667$ — это $\frac 23$. ....
Ответ с большой вероятностью не будет совпадать с ответом в задачнике.


novichok2021 в сообщении #1513349 писал(а):
каким образом возможно расчитать координаты концов отрезка $DE$ ?


Совершенно согласен с Someone, потому что я результат посчитал с точностью до тысячных $D=(39,966;-6,78)$ и $E=(17,689;-40)$. При этом, если проверить по теореме Пифагора результат для $DE$, то получается $DE=40,01$, т.е сходится с точностью до одной сотой.

Спасибо за участие. Удачи вам.

-- 04.05.2021, 23:59 --

kmpl в сообщении #1514941 писал(а):
Можно еще вот как. Та точка внизу справа имеет координаты $(90 ; -40)$. Замечаем 2 подобных треугольника с коэффициентом подобия $\frac{2}{3}$. В большом треугольнике знаем 2 катета, находим гипотенузу (если хотите потренировать аналитический метод, то можно и по формуле длины отрезка). Далее можно найти все стороны в маленьком треугольнике. Потом точка E находится сразу. Точку $D$ можно найти несколькими способами. Если Вам нужно побольше формул, можете написать уравнение прямой $DE$. Ее угловой коэффициент находится сразу, а зная точку $E$, находим второе неизвестное. Точка $D$ будет точкой пересечения наклонной прямой и прямой $DE$.

Благодарю вас. Пригодилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group