Натяжение проводника

[fred1996]

EUgeneUS
А нить на блоках тоже жёсткая, если что. Она ведь тоже не меняет своей формы (из-за блоков). Какая разница, она сама по себе жёсткая, или из-за жестких блоков?
Хотя, в данной задаче это не принципиально. Крутящие силы ведь действуют нормально и не вносят вклад в горизонтальную составляющую выше второго порядка малости.

[svv]

EUgeneUS в сообщении #1513218 писал(а):

Кроме того. Сила натяжения будет не нулевой даже при отсутствии внешнего поля. Чтобы это исключить из рассмотрения, нужно дополнительное условие.

Одно из удивительных свойств задачи — то, что такое условие не требуется.

Возьмём на контуре две различные точки $A$ и $B$. Они разбивают контур на два куска, синий и зелёный (картинка 1).

На зелёный кусок со стороны синего действуют две силы — в точке $A$ и в точке $B$ (картинка 2). Так как магнитных сил нет, из равновесия сил следует, что эти две силы противоположны.
Разумеется, они создают ненулевой момент, но мне сейчас достаточно рассмотреть равновесие сил.

Тогда по третьему закону Ньютона равны силы (картинка 3):
$\bullet$ со стороны зелёного куска на синий в точке $A$;
$\bullet$ со стороны синего куска на зелёный в точке $B$.

Можно разбить контур на большее число кусков (картинка 4), и аналогично получим, что следующий (против часовой стрелки) кусочек действует на данный всюду с одной и той же силой $\mathbf C$ (чёрные стрелочки).
Силы, с которыми предыдущий кусок действует на данный, показаны там же еле заметным серым.

Продольная компонента этой силы равна $\mathbf C\cdot\boldsymbol{\tau}$, где $\boldsymbol{\tau}$ — единичный касательный вектор к контуру. При усреднении этой штуки получаем нуль.

-- Ср апр 07, 2021 12:39:03 --

EUgeneUS в сообщении #1513229 писал(а):

Окей. Но тогда сила натяжения создаст не нулевую результирующую силу, у кусочка рядом с закруглением, который тоже начнёт смещаться.... И т.д. пока сила натяжения не уровняется по всей длине контура.

Ничего, поколбасит его немного, и успокоится. Один такой контур минут 15 колбасило, и ничего, успокоился.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1513238 писал(а):

Так как магнитных сил нет,

А куда они делись? Я говорил про отсутствие внешнего магнитного поля. А не про отсутствие магнитного поля вообще.

[svv]

А, Вы предлагаете учитывать взаимное притяжение/отталкивание разных частей проводника с током? Имхо, тут никакого красивого общего ответа не получится, без знания конкретной формы контура.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1513248 писал(а):

Имхо, тут никакого красивого общего ответа не получится, без знания конкретной формы контура.

так-то оно так. Но вот какая петрушка вылазит.
Рассмотрим круглый плоский виток с током $I$.
Подвигаем его немного по радиусу:
$\Delta W = \delta A$, где $\Delta W = \frac{\Delta L I^2}{2}$ - изменение энергии магнитного поля, $\delta A = F 2 \pi \Delta r$ - работа сил натяжения.
Тогда:
$F = \frac{I^2}{4 \pi} \frac{d L}{d r}$

теперь смотрим в справочнике и видим (в СИ), что индуктивность одновиткового круглого контура в случае отсутствия скин-эффекта равна:
$L = \mu_0 r (\ln(\frac{8r}{a}) - \frac{7}{4} + O(\frac{a^2}{r^2}))$

Тогда сила равна:
$F = \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi} (\ln(\frac{8r}{a}) + 1)$

Видно, что при уменьшении радиуса провода $a$ мы можем сделать эту силу сколь угодно большой.
Если нигде не ошибся, конечно.

[svv]

Вы правы, в случае бесконечно тонкого проводника нельзя вычислить создаваемое им магнитное поле в точках, лежащих на контуре. И силу (точнее, линейную плотность силы) тоже. Для спасения задачи придётся предположить, что 1) проводник имеет конечную толщину и 2) ток $I$ и внешнее поле $B_0$ таковы, что сила Ампера от внешнего поля гораздо больше силы Ампера со стороны одних частей контура на другие.

[EUgeneUS]

svv

Похоже, будет достаточно условия $BS \gg \Phi_I$, где $B$ - индукция внешнего поля, $\Phi_I$ - поток через контур, создаваемый током в контуре.
Но это не точно.

[dovlato]

Мне кажется, ниша существования задачи - ситуации, в которых энергия собственного поля
пренебрежимо мала по сравнению с $\Phi_{external}I$.

[EUgeneUS]

dovlato
Это с точностью до множителя $\frac{1}{2}$ равносильно моему предложению
Не знаю, насколько важен этот множитель.