Натяжение проводника

[amon]

svv в сообщении #1512926 писал(а):

Я принял, что $\mathbf T_n$ — это сила, с которой $(n+1)$-й вагончик («следующий») действует на $n$-й («данный»).

IMHO, беда этой задачи в том, что контур жесткий. Поэтому тензор напряжений имеет, вообще говоря, все три ненулевые компоненты: $\varepsilon_{ll},\varepsilon_{nn}$ и $\varepsilon_{nl}.$ Как эти три компоненты совместить с двумя компонентами вектора мне не понятно. Для гибкой нити отлична от нуля только одна компонента тензора, и можно ввести натяжение нити (даже не векторное, а скалярное, поскольку направление всегда определяется касательным вектором к нити).

[svv]

amon в сообщении #1513179 писал(а):

Поэтому тензор напряжений имеет, вообще говоря, все три ненулевые компоненты: $\varepsilon_{ll},\varepsilon_{nn}$ и $\varepsilon_{nl}.$ Как эти три компоненты совместить с двумя компонентами вектора мне не понятно.

В любом случае, в том числе жёсткого контура, один кусок контура (не обязательно малый) действует на соседний с определённой силой $\mathbf T=T_i\mathbf e_i$. Её и рассматриваем. Мы не считаем, что эта сила имеет только продольную компоненту, но в задаче интересуемся только продольной.

Связь с компонентами тензора напряжений следующая. Два соседних куска разделим плоским сечением перпендикулярно проводнику. Поверхностная плотность (на сечении) силы, с которой один кусок действует на другой, равна свёртке тензора напряжений с единичной нормалью $\mathbf n$ к сечению:
$f_i=\varepsilon_{ik}n_k$
Эту поверхностную плотность силы проинтегрируем по сечению, получим саму силу $T_i$:
$T_i=\int\limits_S f_i dS=\int\limits_S \varepsilon_{ik}n_k dS$
Продольная компонента $\mathbf T$ равна
$T_in_i=\int\limits_S \varepsilon_{ik}n_in_k dS$
Пусть локальный базис выбран так, что $\mathbf e_1=\mathbf n$. Тогда продольная компонента силы
$T_1=\int\limits_S\varepsilon_{11} dS=\langle\varepsilon_{11}\rangle S$

[fred1996]

Кто мне объяснит, каким образом может физически получиться различное натяжение в нити, если Ее не корректировать например силой трения. А тогда весь смысл задачи вообще теряется.

[svv]

В нити? Но у нас по условию жёсткий контур.

[amon]

svv в сообщении #1513181 писал(а):

В любом случае, в том числе жёсткого контура, один кусок контура (не обязательно малый) действует на соседний с определённой силой $\mathbf T=T_i\mathbf e_i$. Её и рассматриваем. Мы не считаем, что эта сила имеет только продольную компоненту, но в задаче интересуемся только продольной.

Переходя на язык родных осин, можно сказать, что если силы имеют поперечную компоненту, то кроме самих сил возникает еще момент сил, стремящийся развернуть кусочек контура. Поэтому кроме равенства сил надо учитывать равенство нулю вращающего момента сил. Как этот момент засунуть в натяжение я не знаю.

[fred1996]

svv в сообщении #1513188 писал(а):

В нити? Но у нас по условию жёсткий контур.

1. Если жёсткий контур без трения, то натяжение везде одинаковое. Иначе нить поедет. А она в равновесии. Равномерное же натяжение нити достигается силой магнитного поля плюс нормальная реакция контура. То есть фактически можно найти эту силу натяжения, а потом по ней и магнитной силе расчитать реакцию контура.

Но для этого надо задать начальные условия. То есть начальное натяжение в контуре в отсутствие тока. И начальное распределение нормальной силы, которая будет пропорциональна кривизне.


2. А если трение есть, тогда появляется неоднозначность, где трение, а где натяжение. Либо тогда уж сразу оговаривать - ищем натяжение + трение. И магнитная сила + реакция контура.
Тогда задача сведётся к варианту 1.

[dovlato]

Вообще-то натяжение в жёстком контуре не одинаково. Достаточно рассмотреть прямоугольник.

[fred1996]

Если трение отсутствует, то и на прямоугольнике натяжение везде одинаковое. Иначе кусочек, где не одинаковое, поедет. Ну а вообще-то контур должен быть достаточно гладким. Чтобы везде была гладкая кривизна. Иначе появляются неопределённости в нормальной силе. А это нехорошо. И вообще ваш контур должон быть выпуклым везде. То есть кривизна нигде не должна превращаться в ноль. Иначе при нерасторжимой нити Ее натяжение станет бесконечным.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1513162 писал(а):

Учитывая, что при повороте $\mathbf n$ на угол $d\alpha$ точки соприкосновения A и B в сумме пройдут расстояние $dL=h(\mathbf n)d\alpha$,

Мне кажется, что это не так.

[AnatolyBa]

Я начал решение этой задачи с рассмотрения двух частных случаев - окружности и прямоугольника. При этом, как водится, допустил арифметическую ошибку в случае прямоугольника. Это меня смутило, поэтому решению svv я вначале не поверил, стал искать ошибки. В конце концов нашел ошибку у себя. Решение svv я считаю безукоризненным.
Нужно принимать во внимание следующие моменты.
Во-первых, хотя автор этого не указал, рассматривается статический случай. Статическая ситуация возможна, это можно строго доказать вычислив полную силу и полный момент (оба нули), но это очевидно и так из однородности поля. Поэтому начальные условия здесь ни при чем. Они нужны были бы, если бы требовалось определить динамику в нестатическом случае.
Во-вторых, уравнение моментов нужно было бы, если бы мы хотели полностью расчитать силы натяжения. Но нам этого не нужно, в решении svv вектор $\mathbf C$ не определен. Однако, удивительным образом оказывается, что для получения ответа нам и не нужны полностью расчитанные силы. Все неопределенное сокращается.
В-третьих, для сложного контура силы натяжения где-то могут оказаться силами сжатия. Усреднение производится со знаком. Поэтому нет ограничения на форму контура - выпуклый, не выпуклый. Гладкость, это вообще какая-то формальность

[svv]

fred1996
Рассмотрим прямоугольный контур, если хотите, с закруглёнными углами.
На картинке 1 нарисован контур и действующие на него магнитные силы.
На картинке 2 мы рассматриваем нижний кусок контура. Красные — упругие силы, действующие на него со стороны верхнего куска. Они большие, чтобы было равновесие.
На картинке 3 рассматриваем левый кусок контура. Красные — упругие силы со стороны правого куска. Тут для равновесия их надо взять поменьше.

[EUgeneUS]

svv
А в закруглении в углах никакой беды не произойдет?
Результирующая сила, действующая на закругление со стороны магнитного поля должна бы быть направлена по биссектрисе угла. А результирующая сила натяжения, приложенная к концам закругления, по биссектрисе не направлена.

-- 07.04.2021, 12:00 --

Кроме того. Сила натяжения будет не нулевой даже при отсутствии внешнего поля. Чтобы это исключить из рассмотрения, нужно дополнительное условие.

[svv]

amon в сообщении #1513189 писал(а):

Переходя на язык родных осин, можно сказать, что если силы имеют поперечную компоненту, то кроме самих сил возникает еще момент сил, стремящийся развернуть кусочек контура.

Более того, моменты сил, действующие на кусочек, могут быть сосредоточенными. Рассмотрим момент сил, возникающих на стыке, относительно точки стыка. Согласно школьной теории, такой момент сразу равен нулю. Однако под микроскопом видно, что нормальные напряжения сильно неоднородны в сечении, вплоть до того, что меняют знак. Скажем, ближе к одному краю стержня у нас сжатие, ближе к другому растяжение. И возникает "точечный" (с макроскопической т.зр.) ненулевой момент, стремящийся согнуть или разогнуть контур в месте стыка, либо препятствующий сгибанию.

amon в сообщении #1513189 писал(а):

Поэтому кроме равенства сил надо учитывать равенство нулю вращающего момента сил.

Это условие входит в полную систему условий статического равновесия, но, как заметил AnatolyBa, оно оказалось излишним для решения задачи.

-- Ср апр 07, 2021 11:19:42 --

EUgeneUS в сообщении #1513218 писал(а):

Результирующая сила, действующая на закругление со стороны магнитного поля должна бы быть направлена по биссектрисе угла. А результирующая сила натяжения, приложенная к концам закругления, по биссектрисе не направлена.

Допустим, так. Тогда кусочек начнёт двигаться. Не успеет он проделать как угодно малый путь, силы натяжения на концах закругления скорректируются так, чтобы кусочек остановился. Так возьмём сразу равновесное значение сил. Я утверждаю, что существует такая зависимость вектора $\mathbf T(s)$ вдоль контура ($s$ — путь от "нулевой" точки), что каждый кусочек пребывает в равновесии.

[fred1996]

Возьмём очень маленький кусочек контура и расположим его левый конец горизонтально.
Пусть в левом конце его натяжение $F$, а в правом $F+\Delta F$. И правый конец отклонился на угол $\Delta \alpha$ от горизонтали. Тогда, чтобы скомпенсировать вертикальную составляющую, нужно чтобы нормальная сила была $F\Delta\alpha$. Но тогда у нас остаётся нескомпенсированная горизонтальная составляющая $\Delta F$ и наш кусочек поедет с ускорением вправо.
Если радиус кривизны нашего кусочка $R$, то у нас $\Delta F=\frac{dF}{dx}R\Delta\alpha$, а нормальная составляющая, компенсирующая натяжение, будет $F\Delta\alpha$. Обе величины первого порядка малости по $\Delta\alpha$. Равновесие по вертикали есть, но при ненулевой производной силы натяжения равновесия по горизонтали нет. Это обычные рассуждения для доказательства того, что у невесомой нити в отсутствии сил трения в задачах на блоки натяжение везде одинаково. Чем отличается ваша задача от задач на блоки? Да ничем. И Блоки и магнитное поле создают только нормальные силы.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1513220 писал(а):

Не успеет он проделать как угодно малый путь, силы натяжения на концах закругления скорректируются так, чтобы кусочек остановился.

Окей. Но тогда сила натяжения создаст не нулевую результирующую силу, у кусочка рядом с закруглением, который тоже начнёт смещаться.... И т.д. пока сила натяжения не уровняется по всей длине контура.

-- 07.04.2021, 13:00 --

fred1996 в сообщении #1513227 писал(а):

Чем отличается ваша задача от задач на блоки?

Вообще-то контур предполагается жестким в отличие от нити.