Единственность производящей функции Дирихле

[marie-la]

Была задача доказать некоторое равенство с помощью ПФД (производящих функций Дирихле). Я сравнила ПФД левой и правой частей, все получилось, но возник вопрос единственности. Нужна (очень!) подходящая ссылка. Я нашла только фразу в одной книжке типа "нам нужны такие ядра, чтоб из равенства нулю функции следовало равенство нулю коэффициентов. В частности, можем взять степени $\frac{1}{n}$". Но это не очень годится в качестве ссылки - напрямую соответствующее утверждение не формулируется и не доказывается.

[arseniiv]

В общем случае производящие функции (и Дирихле, и обычные, и экспоненциальные, и наверно все остальные) — это формальные ряды, так что там равенство будет практически сразу эквивалентно равенству соответствующих последовательностей. А вот когда мы сопоставляем рядам функции, к которым они где-то сходятся, вопрос усложняется и требуется теорема о единственности разложения функции в ряд. Если про степенные ряды можно посмотреть что-то во всяких учебниках матанализа, то про такие ряды, честно говоря, не в курсе в каких курсах обычно пишут. Но это не понадобится, если вы не спускались ниже уровня операций с формальными рядами (и возможно их записи в виде выражений из достаточно узкого класса, с которыми операции тоже можно в принципе определить формально и сделать их соответствующими только одному ряду каждое автоматически).

[marie-la]

arseniiv
О, ясно, спасибо

[RIP]

Что касается теоремы единственности для рядов Дирихле, то она следует из формулы Перрона.

[Padawan]

Единственность доказана в книге T.Apostol Introduction to analytic number theory. Chapter 11, 11.3, theorem 11.3

[marie-la]

Padawan
Супер, спасибо за ссылку!

-- 06.04.2021, 10:52 --

RIP
Спасибо!

[novichok2018]

Ряды Дирихле - вроде всё есть в монографиях Леонтьева, нет?