Необычная метрика пространства

[Dmitriy40]

Всем привет.
Заинтересовал вопрос бывает ли чем-то полезна метрика с не квадратичными расстояниями? Т.е. чтобы в формуле расстояния между точками был не квадрат, а более высокая степень (ну и корень соответственно тоже не квадратный если через него записывать)?
Я из необычных знаю только про всякие лексикографические и им подобные, в программировании/кодировании/криптографии, но там вовсе не степень.
Польза от квадратичной понятна, МНК там всякие и т.п., а вот от более высоких степеней бывает ли реальная польза или это изыски? Понятно что пространство будет не евклидовым (и похоже со скалярным произведением там всё плохо), но вот каким именно не представляю и никак не могу придумать как бы его применить.
Или это ограничено чем-то более фундаментальным чем просто произвольный выбор формулы расстояния между точками и пользы и быть не может?

Какие ещё попытки решения привести не знаю, хотелось бы просто примера полезного не квадратичного расстояния между точками.

[ozheredov]

Dmitriy40
Равномерная метрика (максимум модуля) это как раз предел вашей метрики при неограниченном росте степени. Но это, ясное дело, не то, что Вы хотели )
Если Ваша метрика выступает в роли некой целевой функции, то увеличение степени (с некоторыми оговорками) увеличивает её градиент, а уменьшение -- уменьшает. Дополните алгоритм методами "проскакивания" локальных минимумов и можете искать компромисс между скоростью сходимости и вероятностью где-нибудь застрять.

-- 03.04.2021, 17:43 --

P.S.

Dmitriy40 в сообщении #1512714 писал(а):

и похоже со скалярным произведением там всё плохо

Разумеется ) Скалярным произведением порождена именно квадратичная метрика.

[demolishka]

Помимо понятной теоретической пользы в рамках классического функционального анализа, есть нелинейные УРЧП, которые в силу своих особенностей корректны лишь в пространствах типа $L_{p}$. Примеры можно посмотреть в [Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач (1972)]. Там сразу же первая глава начинается с гиперболического уравнения из релятивистской квантовой механики. Насколько это реально нужно физикам — не имею представления .

Во многих приложениях (опять же к уравнениям в бесконечномерных пространствах) часто полезна равномерная метрика, которая

ozheredov в сообщении #1512726 писал(а):

как раз предел вашей метрики при неограниченном росте степени

и в бесконечномерии соответствует метрике на пространстве непрерывных функций. Оно и понятно: равномерная сходимость это что-то очень хорошее и более понятное, чем какие-то там сходимости по интегральным метрикам. Тем не менее, даже в таких задачах очень часто оказывается полезным учитывать структуру некоторого гильбертова пространства типа $L_{2}$ для использования соответствующей геометрии.

Например, для изучения параболических задач: оператор Лапласа (с подходящими граничными условиями) — самосопряженный оператор в $L_{2}$ и корректность задачи проще исследовать в гильбертовом пространстве. Потом, как правило, сглаживающие свойства параболических уравнений позволяют из асимптотического поведения решений в $L_{2}$ извлекать сходимость в равномерной (или даже более сильной) метрике. Конечно огромная польза от наличия гильбертовой геометрии получается для исследования численных методов решения.

Похожая ситуация проявляется для уравнений с запаздыванием, которыми тоже изначально интересовались лишь в пространстве непрерывных функций, а вопросы корректности в пространствах типа $L_{2}$ были затруднены и к тому же польза от решения этого вопроса многим была не ясна. Недавно ваш покорный слуга показал важность этого пространства для математического понимания некоторых важных построений и результатов, изначально разрозненных и связанных с уравнениями с запаздыванием, которые бонусом удалось подружить с результатами для параболических уравнений.

Резюмируя: банаховы (но не гильбертовы) пространства важны для приложений, но при этом математическая сторона вопроса зачастую становится понятной лишь при учете некоторого гильбертова пространства.

[arseniiv]

Можно добавить, что для конечномерных пространств это всё тоже хорошо.

Можно заметить, что норма $\lVert \cdot \rVert_m, m > 2$ будет давать шары, с точки зрения евклидовой нормы являющиеся суперэллипс[оид]ами, и у них есть применения как минимум в дизайне (не обязательно графическом) — «чтобы было округло, но и более-менее квадратно, и притом ровненько» — и такое требование может возникать в других случаях.

Вообще случаи $m = 1$ (соответствует манхеттенской метрике; шар — произвольномерный аналог октаэдра; и хотя $1 < 2$, но для полноты нужно было отметить) и случай $m = +\infty$ (шар — $n$-куб) уж очень полезны, особенно когда имеют дело с чем-то, накрученным на квадратную сеточку, или где она каким-то образом подразумевается.

[mihaild]

С меньшей степенью - в машинном обучении популярна $L_1$ регуляризация, она, в отличии от $L_2$, умеет делать коэффициенты строго нулевыми.

[Dmitriy40]

Спасибо всем. Молчал потому что ждал может кто даст более простой пример, эти выше к сожалению совсем непонятны. Но в принципе и их достаточно, значит польза всё же есть, хоть и в непонятных мне областях (что уже моя проблема конечно).

[arseniiv]

Думал, упоминание конечномерных пространств снизит накал.

[Евгений Машеров]

Ну, можно сказать, что метрика, использующая четвёртую степень, употребляется в некоторых методах анализа независимых компонент. Которые должны быть "очень различны".
Или вот такая фигура, "суперэллипс"

описывается, как $\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r$
где $x$ координаты точки "суперэлллипса", $x_c=(a,b)$ центр, $p=4$

[novichok2018]

Евгений Машеров - а где Вы встречали термин "суперэллипс"? Мне казалось, что я его сам давно придумал (название), но для другого обобщения, когда много фокусов и сумма расстояний берётся до них всех. Тут было длинное обсуждение.

[Aritaborian]

novichok2018 в сообщении #1513214 писал(а):

где Вы встречали термин "суперэллипс"?

Термин не новый. Само слово используется как минимум с 1970-х. См. MathWorld и Wikipedia.

-- 07.04.2021, 12:10 --

arseniiv в сообщении #1512736 писал(а):

у них есть применения как минимум в дизайне (не обязательно графическом) — «чтобы было округло, но и более-менее квадратно, и притом ровненько»

К пр., профиль скоса (bevel) по умолчанию в Blender.

[Евгений Машеров]

novichok2018 в сообщении #1513214 писал(а):

Евгений Машеров - а где Вы встречали термин "суперэллипс"? Мне казалось, что я его сам давно придумал (название), но для другого обобщения, когда много фокусов и сумма расстояний берётся до них всех. Тут было длинное обсуждение.

В Вики вычитал. В английской (и вообще во всех, кроме французской и каталанской, во французской Courbe de Lamé, в каталанской аналогично)
Кривую $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$ придумал Габриэль Ламе в 1818, но название "суперэллипс" приписывают поэту и математику Питу Хейну, предложившему его в 1959 году.

[novichok2018]

Понятно, спасибо.