Алгебра конечномерная

[MChagall]

Алгебра $A$ - без единицы, порождена двумерным в.п. $V$ над $\mathbb{C}$, соотношения $a^3=0 \forall a\in A$.
Доказать конечномерность $A$.

Сегодня уже обсуждал похожую задачу, но здесь не вижу как идеал соотношений $I$ задать.
Ведь верно, что $I$ - однородный и $A=A_1\oplus A_2\oplus ... $, где $A_n=\frac{\mathbb{C}\lbrace\left x_{i1}...x_{im}\right\rbrace}{I_n}$, $x_1, x_2$ - базис $V$.
Правда, возможно, это и не нужно.
Как здесь быть?

[MChagall]

Опечатался, там вот
$A_n=\frac{\mathbb{C}\lbrace\left x_{i1}\cdot..\cdot x _{in}\right\rbrace}{I_n}$,

[MChagall]

В коммутативном случае всё получается, вроде. А вот в некоммутативном...
Я так понимаю, здесь надо показать, что начиная с какой-то компоненты $A$ дальше всё нулевое, или что все базисные мономы начиная с какого-то $k$ нулевые.
Но как это можно сделать? Или какая-то другая идея нужна?

[vpb]

Как выглядит базис Грёбнера в случае, когда соотношения $a^3=0$ не для всех $a\in A$, а только для всех $a\in V$, вы уже знаете. Поэтому можно выписать явно базис (как линейного пространства) в каждой однородной компоненте, см. комментарий к предыдущей задаче. И дальше увидите, что если присоединить соотношение $a^3=0$ еще для некоторых элементов $a$ (на самом деле, достаточно взять один элемент), то однородные компоненты, начиная с некоторого места, обратятся в нуль.