Распределения без матожидания

[Евгений Машеров]

geomath в сообщении #1511973 писал(а):

А не может так случиться, что равномерное распределение в этом приборе нереалистично? Колебания угла маленькие, и координата зайчика практически линейна по углу. Я столкнулся с похожей ситуацией, хотя и не Коши, где равномерное распределение в пределах развернутого угла нереализуемо на практике.

У меня такое впечатление, если если среднего у явления нет, то и самого явления нет.

Равномерное $\pm\pi$, разумеется, абстракция. Но каждая абстракция получается из конкретики. Реально получаемое распределение будет, вероятно, сосредоточено в более узких пределах, чем $\pm\infty$, и вместо "матожидание отсутствует" получится "матожидание какое-то вычисляется", но очень уж сильно прыгает, притом зависит от неизвестных в точности границ изменения.

А вот последний тезис меня впечатлил. "Я нахожу среднее, ergo мир существует!" Мощно!

[Евгений Машеров]

epros в сообщении #1511986 писал(а):

Это наводит на подозрение, что понятие средней рыночной цены также бессмысленно, ибо эта величина ни к чему не сходится. А те финматематики, которые полагаются на нормальность распределения "доходности", совершают фатальную ошибку.

Ну, я тут вижу две проблемы...

(Оффтоп)

С одной можно справиться посредством бульдозеров и асфальта, но что делать с дорогами?

Отсутствие матожидания не самое страшное, поскольку можно взять другую меру положения, скажем, медиану, которая заведомо существует. Расчёты усложняются, некоторые удобства пропадают, вроде аддитивности и т.п., но получить результат можно.
А вот то, что у нас постулируется независимость, при том, что изменения зависят друг от друга и от итога их совместного действия - на самом деле проблема. Это для бездушной природы можно полагать, что одни процессы ничего не знают и не думают о других, и принимать изменения независимыми. А у нас живые люди, которые кто думает, кто думает, будто думает - но в любом случае как-то реагирует. И, скажем, если есть движение цены вниз - на него среагируют толпы спекулянтов. Правда, кто-то будет в панике закрываться, ещё более обрушивая цену, а кто-то закупать, в надежде, что вот-вот вернётся к норме, но так или иначе их действия влияют на цену, и вовсе не независимо. Была бы независимость - работала бы ЦПТ. Появилась "истеричность биржи" - появился усилитель паники, срабатывание стоп-лоссов и небольшое изменение превращается в грандиозное. Была бы "биржа без спекулянтов", одни продавцы произведённой ими продукции и покупатели потребляемой - можно было бы поверить в нормальность распределения "доходностей" (и во всю великолепную теорию, скажем, в Блека-Шоулса). Если спекулянты пена над массой реальных потребителей/производителей - нормальность работающая аппроксимация. А если чисто спекулятивный рынок - то математическая теория не работает, а психиатрическая материал набирает...

[Александрович]

А почему не взять ограниченное (усечённое) распределение Коши? Для него все моменты вычисляются.

[Евгений Машеров]

...и зависят в основном от параметра усечения...

[Александрович]

При симметричном ограничении матожидание будет всегда равняться моде и медиане. Ско будет меняться. Так оно и для нормального ограниченного меняется.

[arseniiv]

geomath в сообщении #1511973 писал(а):

У меня такое впечатление, если если среднего у явления нет, то и самого явления нет.

Вот давайте в хорошей теме ерунду откровенную не писать, ладно?

[ipgmvq]

Евгений Машеров

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1511892 писал(а):

В финансовых расчётах её распределение часто принимают нормальным (расчёт цены опциона по формуле Блека-Шолса и пр.). Однако дневная доходность индекса Standard&Poor (а он рассчитывается по большому количеству акций, то есть оснований ждать "нормальности" больше, чем у отдельной акции) в течение 62 лет (примерно 15 тысяч торговых дней) падал на 5% -10% при стандартном отклонении 0.98% (т.е. на "5 сигм") 27 раз, почти 1:2000, хотя нормальная модель полагает, что это событие случается 1:3500000, а уж падение 19.10.1987 на 22.9% (больше "23 сигм") и вовсе за гранью вероятного.

При таких расчетах обычно предполагается, что волатильность (логарифмической) доходности постоянна. Эмпирически (т.к. цена на опционы со страйками на тех же удалениях и со сходными экспирациями существенно меняются) мы знаем, что рынок не считает волатильность доходности константой. По этой ссылке на GitHub я привожу код на Python, который показывает, что самая грубая коррекция дневной логарифмической доходности с помощью индекса VIX на закрытии дня практически приближает распределение дневной логарифмической доходности к нормальному. Да, после этой грубой(!) коррекции стат. тесты на нормальность (Шапиро-Уилка, Колмогорова-Смирнова) продолжают отвергать гипотезу о нормальности (код распечатывает эти оценки), но это может быть проблемой индекса VIX (в частности того, что он оценивает волатильность с горизонтом около 30 дней и делает оценку на будущее) и того, что в течение дня волатильность также может меняться, в то время как тут мы берём VIX закрытия дня.

На графике приводится распределение дневной логарифмической доходности S&P 500 c 2012-03-31 по 2021-03-29 (в коде можно поменять — он автоматически скачивает цены с finance.yahoo.com): синим цветом помечено нормализованное распределение дневной логарифмической доходности без каких-либо внешних adjustments. Зеленым цветом после грубого adjustment по дневным закрытиям индекса VIX. И желтым цветом — стандартное нормальное распределение.

[Евгений Машеров]

Мне кажется, было бы информативнее на вероятностной бумаге рисовать... Ну, или учитывая, что её не производят давно, подвергнуть вероятностному преобразованию.

[ipgmvq]

Евгений Машеров

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1512093 писал(а):

Мне кажется, было бы информативнее на вероятностной бумаге рисовать... Ну, или учитывая, что её не производят давно, подвергнуть вероятностному преобразованию.

Вуаля

[Евгений Машеров]

Ну, это другой подход к моделированию "тяжелохвостых" распределений. Не выбирать изначально выражение для плотности, дающее "тяжёлые хвосты", а полагать, что распределение нормальное, только для каждой реализации параметры выбираются случайно в соответствии с некоторым распределением. В частности, Коши можно получить из нормального, если дисперсия случайная величина с обратным гамма-распределением. Если бы можно было предугадывать это случайное значение параметра - было бы очень полезно. Но модели для динамики волатильности, всякие ARCH, GARCH, FIGARCH

(Оффтоп)

это я не глупо каламбурю, это fractionally integrated generalized autoregressive conditional heteroscedastic

разнообразны, но более полезны для диссертантов, нежели спекулянтов. А оценка по VIX, как представлено, это оценка "задним числом".

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #1512053 писал(а):

При симметричном ограничении матожидание будет всегда равняться моде и медиане. Ско будет меняться. Так оно и для нормального ограниченного меняется

Можно, конечно, симметричность усечения постулировать.

Цитата:

Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом

(Б. Рассел)
Но если не постулировать, то для доказательства симметричности нам понадобится, как минимум, знание центра симметрии. Circulus vicious...
Причём Коши, ограниченное справа и слева в точках a и b (для простоты примем, что центр в нуле, $a<0$, $b>0$)
будет иметь матожидание $M=\frac 1 2 \ln(1+b^2)-\frac 1 2 \ln(1+a^2)$, определяемое в основном заранее неизвестными величинами a и b.
Поставить задачу об оценивании, помимо центра распределения и размаха распределения Коши, также и параметров отсечения, можно. Вот вопрос, насколько она будет полезна - неясен.

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1512128 писал(а):

Цитата:

Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом

(Б. Рассел)

И что забавно, он был логиком, так что именно из его уст это звучит несколько парадоксально. Но ведь логиком-то он был честным...

[ipgmvq]

Евгений Машеров

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1512123 писал(а):

для диссертантов, нежели спекулянтов

Ни в коем случае не предполагал, что тут есть какая-то неэффективность. Вопрос в том, как считают справедливую цену опционов маркет-мейкеры опционов. У последних нет опции не считать эту цену: они вынуждены делать рынок (выступая другой стороной) и давать котировки.

Евгений Машеров в сообщении #1512123 писал(а):

Ну, это другой подход к моделированию "тяжелохвостых" распределений.

Тут вопрос фундаментальный: стабильна ли "волатильность" изо дня в день. Если она стабильна, разные цены на те же опционы в разные дни/месяцы являются неэффективностью и должны поддаваться легкой спекулятивной эксплуатации. Если же волатильность меняется, то мы говорим не о другом подходе, но о том, что подход с постоянной волатильностью фундаментально неверен.

[alisa-lebovski]

Это все было в в Симпсонах у Мандельброта. Читайте классику.

[Евгений Машеров]

De gustibus non disputandum est, но как-то Мандельброт на классика не тянет. Вейерштрасс, Серпинский, Ляпунов... А он популяризатор. Хороший и ещё лучше раскрученный, но популяризатор

(Оффтоп)

поручик, это слово вместе пишется!!!