Квадратичный вычет (свойство)

[rightways]

Две задачи:

a) Число $a-$ квадратичный вычет по любому простому модулю. Докажите, что $a-$ полный квадрат.
б) Докажите, что любое число $a$ - квадратичный невычет по mod p для бесконечно многих простых $p$.

[nnosipov]

Забыл написать про этот сюжет: он известный и довольно старый, можно посмотреть где-нибудь на artofproblemsolving.com (не исключено, что и в учебниках типа "Лекций по теории чисел" Хассе про него тоже написано). Каких-либо деталей уже не помню.

[RIP]

С помощью квадратичного закона взаимности можно свести задачу к поиску простых чисел в арифметической прогрессии. (При желании можно обойтись без теоремы Дирихле.)

[iifat]

rightways в сообщении #1511548 писал(а):

Докажите, что $a-$ полный квадрат

Читаю, читаю, но так и не пойму. Вычет по модулю — класс целых чисел, дающий равные остатки при делении нацело на упомянутый модуль. Как подмножество целых чисел может быть полным квадратом?

[lel0lel]

Так ведь не просто вычет, а квадратичный, то есть соответствующее квадратное сравнение имеет решения. Вот во втором пункте действительно непонятно написано --- полные квадраты нужно исключить.

[iifat]

lel0lel в сообщении #1512060 писал(а):

то есть соответствующее квадратное сравнение имеет решения

Ну дык это и есть определение квадратичного вычета. А что есть в теории остатков полный квадрат?

[nnosipov]

iifat в сообщении #1512047 писал(а):

Вычет по модулю — класс целых чисел, дающий равные остатки при делении нацело на упомянутый модуль.

Нет, вычет по модулю --- это одно целое число, представитель класса вычетов по модулю.

В п. б) действительно забыли дописать, что $a$ не должно быть точным квадратом.

[iifat]

nnosipov в сообщении #1512107 писал(а):

вычет по модулю --- это одно целое число, представитель класса

Пусть так, вы мне лучше объясните, что такое «квадратичный вычет есть полный квадрат»? Если речь идёт о квадрате системе вычетов, то это просто перефразирование определения. Если речь о квадрате во множестве целых, то это неверно.

[nnosipov]

iifat в сообщении #1512109 писал(а):

Если речь о квадрате во множестве целых, то это неверно.

Что именно неверно? Утверждение п. а) верно. Вот я его своими словами переформулирую: если какое-то целое число является квадратичным вычетом по любому простому модулю, то это число обязано быть точным квадратом. Здесь ключевое слово --- "любому".

[iifat]

А, ёлки. Естественный язык, блин.

[rightways]

Да, пардон, во второй задаче , $a$ не является квадратом.