Разложение состояния по непрерывному спектру

[Maxim Gritskov]

Здравствуйте! Вопрос заключается в следующем. Как математически формализовать разложение вектора состояния в интеграл в оснащенном гильбертовом пространстве? Пусть допустим пространство состояний это ${{\mathrm{L}_2}}$ - квадратично интегрируемые по Лебегу функции. Далее идет стандартное построение оснащения(допустим, плотное пространство взяли $\mathcal{S}$ - пр-о Шварца), тогда там собственным обобщенным вектором самосопряженного оператора $\mathrm{A}$ с собственным значением $\lambda$ называется такой функционал ${\varphi}{\in}{\mathcal{S}}^{*}$, что ${\forall}{f}{\in}{\mathcal{S}}({\varphi}[{\mathrm{A}}f]={\lambda}{\varphi}[f])$. Так вот, исходя из этого, хочется понять, что означает формула:

$$\psi(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{f_x{(\lambda)}{\psi(\lambda)}d{\lambda}}.$$

Здесь ${\psi(\lambda)}$ - основной предмет моего беспокойства: что это такое и почему в литературе это называют ядром функционала из определения выше? В каком смысле ядро?
Прикрепляю ссылку на литературу, по которой изучал вопрос самостоятельно:
https://www.hse.ru/data/2011/12/25/1261 ... %D1%80.pdf

[Slav-27]

Я не нашёл в этом файле ни такой формулы, ни слова "ядро" (впрочем, автоматический поиск там и не работает). В любом случае, если спектр $\sigma(A)$ самосопряжённого оператора $A$ в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$ простой (то есть "каждый его элемент имеет кратность 1", точнее говоря, в качестве функции кратности можно взять тождественную единицу; на самом деле это несущественно, я это предполагаю только для простоты изложения) и $\{e(\lambda)\}_{\lambda\in\sigma(A)}$ -- полная система нормированных обобщённых собственных векторов $A$, то для $\varphi\in\Phi$ (оснащение $\Phi$ надо выбирать в зависимости от $A$) равенства типа $\varphi=\int\limits_{\sigma(A)}d\lambda\;\varphi(\lambda)e(\lambda)$, где $\varphi(\lambda)$ -- вещественные числа, означают, что скалярное произведение $(\varphi,\psi)=\int\limits_{\sigma(A)}d\lambda\;\overline{\varphi(\lambda)}{\psi(\lambda)}$, где интегрирование происходит по скалярной спектральной мере оператора $A$; более того, $(\varphi,f(A)\psi)=\int\limits_{\sigma(A)}d\lambda\;\overline{\varphi(\lambda)}f(\lambda){\psi(\lambda)}$ для хороших функций $f:\sigma(A)\to\mathbb C$.

Вообще смысл там в том, что $H$ раскладывается в прямой интеграл гильбертовых пространств $H=\int_{\sigma(\lambda)}^\oplus d\lambda\;H(\lambda)$ (это часть утверждения спектральной теоремы для самосопряжённых операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве), а затем для каждого $\varphi\in\Phi$ каждому $\lambda\in\sigma(A)$ сопоставляется непрерывный линейный функционал на $H(\lambda)$, причём, если всё правильно делать, совокупность этих функционалов однозначно задаёт $\varphi$; это продолжение спектральной теоремы, иногда называемое "спектральная теорема Гельфанда -- Морена".

Про это можно читать:
Гельфанд, Виленкин. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащённые гильбертовы пространства. (Обобщённые функции, выпуск 4.) Глава 1.
Гельфанд, Шилов. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. (Обобщённые функции, выпуск 3.) Глава 4.
Maurin. General eigenfunction expansions and group representations. Lecture notes. И там по ссылкам.

Оснащённые гильбертовы пространства, как я понимаю, нигде особо не применяются (что в математике, что в физике) и мало кому интересны, Гельфанд их придумал с мотивацией "смотрите, мы умеем математически строго истолковывать то, что Дирак писал в 1920-е годы в книге Принципы квантовой механики". Но имейте в виду, что я совершенно тут не специалист, пусть меня поправляют.

-- 01.04.2021, 01:42 --

Для примера: $H=L^2(\mathbb R)$, $A=-i\frac{d}{dx}$ -- оператор импульса, $\Phi=\mathcal S(\mathbb R)$, $\sigma(A)=\mathbb R$, $e(\lambda)\in \mathcal S'(\mathbb R)$ -- функция $x\mapsto \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{ix\lambda}$, так что для $f\in\mathcal S$ $\widehat f(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\mathbb R}dx\;f(x)e^{-ix\lambda}$ -- (обратное) преобразование Фурье (крышка тут для избежания путаницы в обозначениях, выше я её не ставил), вышеприведённая формула для $(\varphi,\psi)$ -- равенство Парсеваля. В этом случае интересно то, что элементы $\Phi$ -- функции на $\mathbb R$ и спектр -- тоже $\mathbb R$, поэтому спектральное разложение $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x)=\int\limits_{\mathbb R}d\lambda\;\widehat f(\lambda) e^{ix\lambda}$ можно интерпретировать как равенство функций на $\mathbb R$ -- оно действительно имеет место. Интересно, имеются ли подобные равенства функций в тех случаях, когда $\Phi$ -- какое-то пространство функций на $\mathbb R$, но не $\mathcal S(\mathbb R)$.

[Maxim Gritskov]

Стало гораздо понятнее, спасибо! А в вашем примере спектральная мера оператора совпала с Жордановой? И вы не могли бы еще формально разобрать пример с оператором координаты? Если в вашем примере так совпало, что про такое разложение можно думать как про равенство функций на $\mathbb{R}$, а там получится, что не будет существовать такой функции, там получится дельта-символ(Дираковский). И не очень понятно как формально смотреть на такое разложение.

[Slav-27]

Maxim Gritskov в сообщении #1512465 писал(а):

А в вашем примере спектральная мера оператора совпала с Жордановой?

В качестве скалярной спектральной меры для этого оператора импульса можно взять меру Лебега (это пополнение меры Жордана: вы объявляете все подмножества множеств нулевой меры Жордана измеримыми и приписываете им меру 0). Мера Жордана определена даже не для всех открытых множеств, это неудобно; обычно считается, что спектральная мера определена на $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств спектра.

Maxim Gritskov в сообщении #1512465 писал(а):

И вы не могли бы еще формально разобрать пример с оператором координаты?

$H=L^2(\mathbb R)$,
$A$ -- оператор умножения на тождественную функцию $\mathbb R\to\mathbb R$,
$\sigma(A)=\mathbb R$, в качестве скалярной спектральной меры опять можно взять меру Лебега (тут всё так же, как и для оператора импульса, и вообще они одинаковые: есть изометрический автоморфизм $L^2(\mathbb R)$, который переводит один в другой (какой?));
$\Phi=\mathcal S(\mathbb R)$,
$e(\lambda)\in \mathcal S'(\mathbb R)$ переводит $f\mapsto f(\lambda)$ (эту обобщённую функцию обозначают $\delta_\lambda$),
$\widehat f(\lambda)=f(\lambda)$,
формула для $(\varphi,\psi)$ тавтологична.

[Slav-27]

О "равенствах функций" (несколько тривиальных замечаний). "Спектральная теорема Гельфанда -- Морена" говорит нам, что любая $\varphi\in\Phi$ как обобщённая функция на $\Phi$ (имеется в виду $\Phi\ni\psi\mapsto(\varphi,\psi)$, где $(\cdot,\cdot)$ -- скалярное произведение на $H$, комплексно-линейное по 2-му аргументу) совпадает с ${\int\limits_{\sigma(A)}d\lambda\;e(\lambda)(\varphi)\,e(\lambda)}$ (имеется в виду $\Phi\ni\psi\mapsto{\int\limits_{\sigma(A)}d\lambda\;\overline{e(\lambda)(\varphi)}\;e(\lambda)}(\psi)$). Это в точности содержание обсуждавшегося выше "равенства Парсеваля".

Вопрос теперь возникает такой: предположим, что $\Phi$ состоит из каких-то комплекснозначных функций на $\mathbb R$, а обобщённые собственные векторы $e(\lambda)$ -- регулярные обобщённые функции, то есть задаются какими-то настоящими функциями $e(\lambda)_{\mathrm{reg}}:\mathbb R\to\mathbb C$ (имеется в виду $e(\lambda)(\varphi)=\int\limits_{\mathbb R}dx\;\overline{e(\lambda)_{\mathrm{reg}}(x)}\varphi(x)$). Спрашивается: должны ли для любой $\varphi\in\Phi$ совпадать (как функции $\mathbb R\to\mathbb C$) функции $x\mapsto \varphi(x)$ и $x\mapsto \int\limits_{\mathbb R}d\lambda\;e(\lambda)(\varphi)\,e(\lambda)_{\mathrm{reg}}(x)$?

Сначала подумаем, совпадают ли они как обобщённые функции на $\Phi$. Это более-менее понятно: если можно менять порядок интегрирования, то совпадают -- это то же самое, что "равенство Парсеваля". А менять порядок интегрирования можно, если все функции хотя бы измеримы, по теореме Фубини -- Тонелли (скалярные спектральные меры $\sigma$-конечные).

Осталось выяснить такой вопрос: наши функции совпадают как обобщенные функции на $\Phi$, следует ли из этого, что они совпадают как функции $\mathbb R\to\mathbb C$? В общем случае, насколько я понимаю, сложно что-либо сказать. Если $\Phi$ -- пространство Шварца, $H=L^2(\mathbb R)$, то это следует из того, что они попадают опять в $\Phi$ (и тогда, так как $\Phi$ плотно в $H$, то они совпадают на $H$, следовательно совпадают как элементы $H$, в частности как элементы $\Phi$). А то, что они попадают опять в $\Phi$, то есть что преобразование Фурье сохраняет пространство Шварца, -- это специфическое свойство пространства Шварца, надо честно оценивать полунормы (что не очень сложно: полунормы суть $|f|_{a,b}=\sup\limits_{x\in\mathbb R}x^a\frac{d^b}{dx^b}f(x)$, а преобразование Фурье переводит $x\leftrightarrow\frac{d}{dx}$ с точностью до постоянного множителя).

В общем, если они совпадают и как настоящие функции -- это совершенно естественно, но сформулировать тут какое-то нетривиальное общее утверждение я не умею.

Если обобщённые функции $e(\lambda)$ сингулярны, то, в принципе, можно их приближать регулярными. То есть, например, для $f\in\mathcal S(\mathbb R)$ $f=\int\limits_{\mathbb R}d\lambda\;f(\lambda)\delta_\lambda$ (равенство обобщённых функций на $\mathcal S(\mathbb R)$), наверно, влечёт равенство функций $\mathbb R\to\mathbb C$ $f(x)=\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{\mathbb R}d\lambda\;f(\lambda)D_k(x-\lambda)$, где $D_k, k=1,2,3,...$ -- последовательность настоящих функций, которая в определённом смысле приближает $\delta$-функцию, и предел тоже понимается в каком-то там смысле. Мне про это думать не очень интересно, а вы можете попробовать это строго сформулировать и доказать, не выглядит как что-то сложное.

[Maxim Gritskov]

Спасибо вам большое!