p| n^3-n+1

[rightways]

Пусть $p=23k-1$. Докажите, что для некоторого натурального $n$:

$$p|\,n^3-n+1$$

[nnosipov]

rightways
А Вы умеете решать эту задачу? У меня подозрение, что здесь без высокой науки не обойтись (т.е. элементарное решение маловероятно).

[rightways]

Я не умею решать. Да, хотелось бы увидеть элементарное решение. Поэтому и запостил. Но для простых $p=69k-1$ задача элементарно доказывается.

Есть еще и обобщение этой задачи, откуда и я составил эту задачу для $p=23k-1$:

Если $P(x)-$ приведенный неприводимый многочлен с целыми коэффицентами и степени 3. И если $d-$ его дискриминант. То для каждого нечетного простого $p$ для которого $(\frac{d}{p})=-1$ :

$$p|P(n)$$

для некоторого натурального $n$.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1511748 писал(а):

Но для простых $p=69k-1$ задача элементарно доказывается.

Однако ... Впервые вижу подобные штуки.

Впрочем, не совсем впервые (нашел у себя аналогичное утверждение для многочлена $x^3-x^2-x-1$). Но ничего такого доказывать не умею.

-- Вс мар 28, 2021 12:17:56 --

Кажется, начинает доходить: надо проверить, что $108+12\sqrt{69}$ есть точный куб по модулю $p=69k-1$. А, так это очевидно: ведь такое $p \equiv -1 \pmod{3}$, а значит, отображение $x \mapsto x^3$ является биективным на $\mathbb{F}_p$.

Спасибо!